Упр.9 Вариант 2 Контрольная работа 7 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Докажите тождество $$(b-c)(b+c)^2+(c-a)(c+a)^2+(a-b)(a+b)^2=-(a-b)(b-c)(c-a)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$(b-c)(b+c)^2+(c-a)(c+a)^2+(a-b)(a+b)^2$$
$$=(b-c)(b+c)(b+c)+(c-a)(c+a)(c+a)+(a-b)(a+b)(a+b)$$
$$=(b^2-c^2)(b+c)+(c^2-a^2)(c+a)+(a^2-b^2)(a+b).$$

Теперь раскроем каждое произведение:

$$(b^2-c^2)(b+c)=b^3+b^2c-bc^2-c^3,$$
$$(c^2-a^2)(c+a)=c^3+c^2a-a^2c-a^3,$$
$$(a^2-b^2)(a+b)=a^3+a^2b-ab^2-b^3.$$

Сложим полученные выражения:

$$b^3+b^2c-bc^2-c^3+c^3+c^2a-a^2c-a^3+a^3+a^2b-ab^2-b^3$$
$$=b^2c-bc^2+c^2a-a^2c+a^2b-ab^2.$$

Вынесем общий множитель группами:

$$b^2c-bc^2+c^2a-a^2c+a^2b-ab^2$$
$$=bc(b-c)+ac(c-a)+ab(a-b).$$

А правая часть:

$$-(a-b)(b-c)(c-a)$$
$$=-(a-b)\bigl(bc-ba-c^2+ac\bigr)$$
$$=bc(b-c)+ac(c-a)+ab(a-b).$$

Следовательно, левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ

$$(b-c)(b+c)^2+(c-a)(c+a)^2+(a-b)(a+b)^2=-(a-b)(b-c)(c-a).$$