Упр.9 Вариант 1 Контрольная работа 7 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Докажите тождество $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc$$

$$=a(b^2+2bc+c^2)+b(c^2+2ac+a^2)+c(a^2+2ab+b^2)-4abc$$

$$=ab^2+2abc+ac^2+bc^2+2abc+a^2b+a^2c+2abc+b^2c-4abc$$

Соберём подобные слагаемые:

$$=ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c+2abc$$

Теперь раскроем скобки в правой части:

$$(a+b)(b+c)(c+a)$$

$$=(a+b)(bc+ac+b^2+ab)$$

$$=abc+a^2c+ab^2+a^2b+b^2c+abc+ac^2+bc^2$$

$$=ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c+2abc$$

Левая и правая части совпадают, значит, тождество доказано.

Ответ

$$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)$$