Дополнительная задача 8 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
а) х^4 — 1 = (х — 1)(x^3 + х^2 + x + 1);
б) х^4 — у^4 = (х — у)(х^3 + х^2 у + ху^2 + у^2);
в) х^5 — у^5 = (х — у)(x^4 + х^2 у + х^2 у^2 + ху^2 + у^4);
г) х^n — у^n = (х — у)(х^(n-1) + х^(n-2) у + х^(n-3) у^2 + … + хy^(n-2) + у^(n-1)). В «клетчатом» квадрате 2 x 2 (рис. 138) нужно закрасить две клетки.
1) Покажите способы раскраски:
а) если одна из клеток — в левом нижнем углу;
б) если одна из клеток — в левом верхнем углу;
в) которые вошли и в пункт «а», и в пункт «б»;
г) которые не вошли ни в пункт «а», ни в пункт «б»;
д) если клетки не имеют общих сторон.
2) Сколько всего способов раскраски?
Докажем тождества раскрытием скобок.
а)
$$ (x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2+x-x^3-x^2-x-1=x^4-1. $$
Значит, $$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1).$$
б)
$$ (x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4=x^4-y^4. $$
Значит, $$x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3).$$
в)
$$ (x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) $$
$$ = x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4-x^4y-x^3y^2-x^2y^3-xy^4-y^5=x^5-y^5. $$
Значит, $$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4).$$
г)
$$ (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1}) $$
$$ = x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\dots+xy^{n-1} $$
$$ — x^{n-1}y-x^{n-2}y^2-x^{n-3}y^3-\dots-xy^{n-1}-y^n=x^n-y^n. $$
Следовательно, $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1}).$$
Теперь рассмотрим раскраску клетчатого квадрата $$2\times 2$$.
1)
- если одна из клеток — в левом нижнем углу, то таких способов 3;
- если одна из клеток — в левом верхнем углу, то таких способов 3;
- в оба пункта входит 1 способ;
- ни в один из пунктов не входит 1 способ;
- если клетки не имеют общих сторон, то таких способов 2.
2) Всего способов раскраски: $$3+3-1+1=6.$$
Ответ
а) $$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1);$$
б) $$x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3);$$
в) $$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4);$$
г) $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1}).$$
1) а) 3 способа; б) 3 способа; в) 1 способ; г) 1 способ; д) 2 способа. 2) 6 способов.
