Дополнительная задача 8 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) Р(х) = (х + 1)(x + 2)(x + 3);
б) Р(х) = (х — 1)(x — 2)(х — 3);
в) Р(х) = (x — 2)(x + 3)(x — 4);
г) Р(х) = (2х + 1)(x + 1)(x + 3);
д) Р(х) = (2х + 1)(3x — 2)(4x + 3);
е) Р(х) = (5х — 1)(4x + 3)(3x — 5).
Докажите тождество:
а) х^4 — 1 = (х — 1)(x^3 + х^2 + x + 1);
б) х^4 — у^4 = (х — у)(х^3 + х^2 у + ху^2 + у^2);
в) х^5 — у^5 = (х — у)(x^4 + х^2 у + х^2 у^2 + ху^2 + у^4);
г) х^n — у^n = (х — у)(х^(n-1) + х^(n-2) у + х^(n-3) у^2 + … + хy^(n-2) + у^(n-1)).

Подробный ответ

Найдём коэффициент при $$x$$ в каждом многочлене.
а) $$P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)$$
Сначала перемножим первые два множителя:
$$ (x+1)(x+2)=x^2+3x+2 $$
Тогда
$$ P(x)=(x^2+3x+2)(x+3) $$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$ 3\cdot 2+2\cdot 1=6+2=8 $$
а) $$8$$
б) $$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$
$$ (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 $$
$$ P(x)=(x^2-3x+2)(x-3) $$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$ (-3)\cdot(-3)+2\cdot 1=9+2=11 $$
б) $$11$$
в) $$P(x)=(x-2)(x+3)(x-4)$$
$$ (x-2)(x+3)=x^2+x-6 $$
$$ P(x)=(x^2+x-6)(x-4) $$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$ 1\cdot(-4)+(-6)\cdot 1=-4-6=-10 $$
в) $$-10$$
г) $$P(x)=(2x+1)(x+1)(x+3)$$
$$ (x+1)(x+3)=x^2+4x+3 $$
$$ P(x)=(2x+1)(x^2+4x+3) $$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$ 2\cdot 3+1\cdot 4=6+4=10 $$
г) $$10$$
д) $$P(x)=(2x+1)(3x-2)(4x+3)$$
$$ (2x+1)(3x-2)=6x^2-x-2 $$
$$ P(x)=(6x^2-x-2)(4x+3) $$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$ (-1)\cdot 3+(-2)\cdot 4=-3-8=-11 $$
д) $$-11$$
е) $$P(x)=(5x-1)(4x+3)(3x-5)$$
$$ (5x-1)(4x+3)=20x^2+11x-3 $$
$$ P(x)=(20x^2+11x-3)(3x-5) $$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$ 11\cdot(-5)+(-3)\cdot 3=-55-9=-64 $$
е) $$-64$$
Докажем тождества.
а)
$$ (x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2+x-x^3-x^2-x-1=x^4-1 $$
б)
$$ (x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4=x^4-y^4 $$
в)
$$ (x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) $$
$$ =x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4-x^4y-x^3y^2-x^2y^3-xy^4-y^5=x^5-y^5 $$
г)
$$ (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1}) $$
При умножении все промежуточные слагаемые сокращаются попарно, и остаётся
$$ x^n-y^n $$
что и требовалось доказать.