Дополнительная задача 8 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Докажем тождества раскрытием скобок.

а)

$$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2+x-x^3-x^2-x-1=x^4-1.$$

Значит, $$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1).$$

б)

$$(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4=x^4-y^4.$$

Значит, $$x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3).$$

в)

$$(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$$

$$= x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4-x^4y-x^3y^2-x^2y^3-xy^4-y^5=x^5-y^5.$$

Значит, $$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4).$$

г)

$$(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1})$$

$$= x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\dots+xy^{n-1}$$

$$— x^{n-1}y-x^{n-2}y^2-x^{n-3}y^3-\dots-xy^{n-1}-y^n=x^n-y^n.$$

Следовательно, $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1}).$$

Теперь рассмотрим раскраску клетчатого квадрата $$2\times 2$$.

1)

• если одна из клеток — в левом нижнем углу, то таких способов 3;
• если одна из клеток — в левом верхнем углу, то таких способов 3;
• в оба пункта входит 1 способ;
• ни в один из пунктов не входит 1 способ;
• если клетки не имеют общих сторон, то таких способов 2.

2) Всего способов раскраски: $$3+3-1+1=6.$$

Ответ

а) $$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1);$$
б) $$x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3);$$
в) $$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4);$$
г) $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1}).$$

1) а) 3 способа; б) 3 способа; в) 1 способ; г) 1 способ; д) 2 способа. 2) 6 способов.