Дополнительная задача 8 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Не раскрывая полностью скобок, найдите коэффициент при $$x$$ многочлена $$P(x)$$, если:
а) $$P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)$$;
б) $$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$;
в) $$P(x)=(x-2)(x+3)(x-4)$$;
г) $$P(x)=(2x+1)(x+1)(x+3)$$;
д) $$P(x)=(2x+1)(3x-2)(4x+3)$$;
е) $$P(x)=(5x-1)(4x+3)(3x-5)$$. - Докажите тождество:
а) $$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1)$$;
б) $$x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^2)$$;
в) $$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^2y+x^2y^2+xy^2+y^4)$$;
г) $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+xy^{n-2}+y^{n-1})$$.
Найдём коэффициент при $$x$$ в каждом многочлене.
а) $$P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)$$
Сначала перемножим первые два множителя:
$$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$$
Тогда
$$P(x)=(x^2+3x+2)(x+3)$$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$3\cdot 2+2\cdot 1=6+2=8$$
а) $$8$$
б) $$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$
$$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$$
$$P(x)=(x^2-3x+2)(x-3)$$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$(-3)\cdot(-3)+2\cdot 1=9+2=11$$
б) $$11$$
в) $$P(x)=(x-2)(x+3)(x-4)$$
$$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$$
$$P(x)=(x^2+x-6)(x-4)$$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$1\cdot(-4)+(-6)\cdot 1=-4-6=-10$$
в) $$-10$$
г) $$P(x)=(2x+1)(x+1)(x+3)$$
$$(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$$
$$P(x)=(2x+1)(x^2+4x+3)$$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$2\cdot 3+1\cdot 4=6+4=10$$
г) $$10$$
д) $$P(x)=(2x+1)(3x-2)(4x+3)$$
$$(2x+1)(3x-2)=6x^2-x-2$$
$$P(x)=(6x^2-x-2)(4x+3)$$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$(-1)\cdot 3+(-2)\cdot 4=-3-8=-11$$
д) $$-11$$
е) $$P(x)=(5x-1)(4x+3)(3x-5)$$
$$(5x-1)(4x+3)=20x^2+11x-3$$
$$P(x)=(20x^2+11x-3)(3x-5)$$
Коэффициент при $$x$$ равен
$$11\cdot(-5)+(-3)\cdot 3=-55-9=-64$$
е) $$-64$$
Докажем тождества.
а)
$$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2+x-x^3-x^2-x-1=x^4-1$$
б)
$$(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4=x^4-y^4$$
в)
$$(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$$
$$=x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4-x^4y-x^3y^2-x^2y^3-xy^4-y^5=x^5-y^5$$
г)
$$(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1})$$
При умножении все промежуточные слагаемые сокращаются попарно, и остаётся
$$x^n-y^n$$
что и требовалось доказать.
Ответ
а) $$8$$; б) $$11$$; в) $$-10$$; г) $$10$$; д) $$-11$$; е) $$-64$$.
