Дополнительная задача 8 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=h(x)$$, где $$h(x)=\begin{cases}x-1, & x\leqslant 1,\\x^2, & x>1.\end{cases}$$ Найдите $$a$$ и $$b$$ по информации о наименьшем значении $$m$$ и наибольшем значении $$M$$ этой функции на отрезке $$[a;b]$$:
а) $$m=0$$; $$M=16$$;
б) $$m=-10{,}24$$; $$M=1024$$;
в) $$m=-\frac{25}{8}$$; $$M=0$$;
г) $$m=-20{,}18$$; $$M=-1$$;
д) $$m$$ не существует; $$M=1\frac{7}{9}$$;
е) $$m$$ не существует; $$M=1\frac{40}{81}$$.
Не раскрывая полностью скобок, найдите коэффициент при $$x$$ многочлена $$P(x)$$, если:
а) $$P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)$$;
б) $$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$;
в) $$P(x)=(x-2)(x+3)(x-4)$$;
г) $$P(x)=(2x+1)(x+1)(x+3)$$;
д) $$P(x)=(2x+1)(3x-2)(4x+3)$$;
е) $$P(x)=(5x-1)(4x+3)(3x-5)$$.

Подробный ответ

Для функции
$$h(x)= \begin{cases} x-1, & x\le 1,\\ x^2, & x>1 \end{cases}$$
находим значения $$a$$ и $$b$$ по заданным наименьшему и наибольшему значениям на отрезке $$[a;b]$$.
а) $$m=0,\quad M=16.$$
Если $$m=0,$$ то $$x-1=0 \Rightarrow x=1,$$ значит, $$a=1.$$
Если $$M=16,$$ то $$x^2=16 \Rightarrow x=4,$$ значит, $$b=4.$$
Ответ: $$a=1,\ b=4.$$
б) $$m=-10{,}24,\quad M=1024.$$
Если $$m=-10{,}24,$$ то $$x-1=-10{,}24 \Rightarrow x=-9{,}24,$$ значит, $$a=-9{,}24.$$
Если $$M=1024,$$ то $$x^2=1024 \Rightarrow x=32,$$ значит, $$b=32.$$
Ответ: $$a=-9{,}24,\ b=32.$$
в) $$m=-\frac{25}{8},\quad M=0.$$
Если $$m=-\frac{25}{8},$$ то $$x-1=-\frac{25}{8} \Rightarrow x=-\frac{17}{8}=-2\frac{1}{8},$$ значит, $$a=-2\frac{1}{8}.$$
Если $$M=0,$$ то $$x-1=0 \Rightarrow x=1,$$ значит, $$b=1.$$
Ответ: $$a=-2\frac{1}{8},\ b=1.$$
г) $$m=-20{,}18,\quad M=-1.$$
Если $$m=-20{,}18,$$ то $$x-1=-20{,}18 \Rightarrow x=-19{,}18,$$ значит, $$a=-19{,}18.$$
Если $$M=-1,$$ то $$x-1=-1 \Rightarrow x=0,$$ значит, $$b=0.$$
Ответ: $$a=-19{,}18,\ b=0.$$
д) $$m$$ не существует, $$M=1\frac{7}{9}.$$
Если наименьшего значения нет, то левая граница отрезка не ограничена: $$a=-\infty.$$
Если $$M=1\frac{7}{9},$$ то $$x^2=1\frac{7}{9}=\frac{16}{9} \Rightarrow x=\frac{4}{3},$$ значит, $$b=1\frac{1}{3}.$$
Ответ: $$a=-\infty,\ b=1\frac{1}{3}.$$
е) $$m$$ не существует, $$M=1\frac{40}{81}.$$
Если наименьшего значения нет, то $$a=-\infty.$$
Если $$M=1\frac{40}{81},$$ то $$x^2=1\frac{40}{81}=\frac{121}{81} \Rightarrow x=\frac{11}{9},$$ значит, $$b=1\frac{2}{9}.$$
Ответ: $$a=-\infty,\ b=1\frac{2}{9}.$$
Коэффициент при $$x$$ в произведении трёх линейных множителей равен сумме произведений свободных членов двух множителей на коэффициент при $$x$$ в третьем.
а) $$P(x)=(x+1)(x+2)(x+3).$$
Коэффициент при $$x$$:
$$1\cdot 2\cdot x+1\cdot 3\cdot x+2\cdot 3\cdot x=2x+3x+6x=11x.$$
Ответ: $$11.$$
б) $$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).$$
Коэффициент при $$x$$:
$$(-1)(-2)x+(-1)(-3)x+(-2)(-3)x=2x+3x+6x=11x.$$
Ответ: $$11.$$
в) $$P(x)=(x-2)(x+3)(x-4).$$
Коэффициент при $$x$$:
$$(-2)\cdot 3\cdot x+(-2)\cdot(-4)\cdot x+3\cdot(-4)\cdot x=-6x+8x-12x=-10x.$$
Ответ: $$-10.$$
г) $$P(x)=(2x+1)(x+1)(x+3).$$
Коэффициент при $$x$$:
$$2\cdot 1\cdot 3x+1\cdot 1\cdot 3x+2\cdot 1\cdot x=6x+3x+x=10x.$$
Ответ: $$10.$$
д) $$P(x)=(2x+1)(3x-2)(4x+3).$$
Коэффициент при $$x$$:
$$2\cdot(-2)\cdot 3x+1\cdot 3\cdot 3x+2\cdot 4\cdot(-2)x=-12x+9x-16x=-19x.$$
Ответ: $$-19.$$
е) $$P(x)=(5x-1)(4x+3)(3x-5).$$
Коэффициент при $$x$$:
$$5\cdot 3\cdot(-5)x+(-1)\cdot 4\cdot(-5)x+5\cdot(-1)\cdot 3x=-75x+20x-15x=-70x.$$
Ответ: $$-70.$$

Ответ

1) а) $$a=1,\ b=4$$; б) $$a=-9{,}24,\ b=32$$; в) $$a=-2\frac{1}{8},\ b=1$$; г) $$a=-19{,}18,\ b=0$$; д) $$a=-\infty,\ b=1\frac{1}{3}$$; е) $$a=-\infty,\ b=1\frac{2}{9}$$.

2) а) $$11$$; б) $$11$$; в) $$-10$$; г) $$10$$; д) $$-19$$; е) $$-70$$.