Дополнительная задача 7 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
а) если число кратно 3, то его квадрат кратен 9 (и, в частности, кратен 3);
б) если число при делении на 3 даёт остаток 1, то его квадрат при делении на 3 также даёт остаток 1;
в) если число при делении на 3 даёт остаток 2, то его квадрат при делении на 3 даёт остаток 1;
г) квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3;
д) уравнение х^2 = 3у + 2 не имеет решений (в целых числах);
е) уравнение х^2 + 4ху + у^2 = Зу + 2 не имеет решений (в целых числах).
Данные из сгруппированного ряда С,…, С, е, …, е, м, …, м, ь, …, ь переносят в таблицу распределения частот, в которой пока не заполнен прямоугольник 4 x 2.
1) Найдите частоту (%):
а) данного «С»;
б) данного «е»;
в) данного «м»;
г) данного «ь».
2) Найдите число верных способов заполнения, при которых:
а) в первых двух клетках второй строки могут стоять 40 и 15;
б) 10 может стоять во второй строке.
а) Пусть целое число кратно 3. Тогда его можно записать в виде $$3n$$, где $$n$$ — целое число. Тогда
$$ (3n)^2=9n^2, $$
то есть квадрат этого числа кратен $$9$$, а значит, и $$3$$.
б) Пусть целое число при делении на 3 даёт остаток 1. Тогда оно имеет вид $$3n+1$$. Тогда
$$ (3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1. $$
Значит, при делении на 3 квадрат тоже даёт остаток 1.
в) Пусть целое число при делении на 3 даёт остаток 2. Тогда оно имеет вид $$3n+2$$. Тогда
$$ (3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1. $$
Следовательно, при делении на 3 квадрат снова даёт остаток 1.
г) При делении целого числа на 3 возможны остатки только $$0$$, $$1$$ или $$2$$. По пунктам а)–в) квадрат целого числа при делении на 3 может давать только остатки $$0$$ или $$1$$. Остаток $$2$$ невозможен.
д) Уравнение $$x^2=3y+2$$ не имеет решений в целых числах, так как правая часть при делении на 3 даёт остаток $$2$$, а квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на 3.
е) Преобразуем уравнение:
$$ x^2+4xy+y^2=3y+2 $$
$$ x^2+4xy+4y^2-3y^2=3y+2 $$
$$ (x+2y)^2=3y^2+3y+2. $$
Правая часть при делении на 3 даёт остаток $$2$$, а квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на 3. Значит, целых решений нет.
В таблице частот всего $$20$$ повторений.
Частоты:
$$ \frac{8}{20}\cdot 100\%=40\%,\quad \frac{3}{20}\cdot 100\%=15\%,\quad \frac{5}{20}\cdot 100\%=25\%,\quad \frac{4}{20}\cdot 100\%=20\%. $$
Значит, для данных букв: $$C$$ — $$40\%$$, $$e$$ — $$15\%$$, $$M$$ — $$25\%$$, $$ь$$ — $$20\%$$.
2)
а) Если в первых двух клетках второй строки стоят числа $$40$$ и $$15$$, то в двух оставшихся клетках должны стоять $$25$$ и $$20$$. Их можно переставить $$2! = 2$$ способами.
б) Число $$10$$ не может стоять во второй строке, так как во второй строке должны быть частоты, а не произвольные числа. Поэтому таких способов $$0$$.
Ответ
а) квадрат числа, кратного 3, кратен 9 и 3; б) остаток 1; в) остаток 1; г) не может; д) решений нет; е) решений нет; частоты: $$40\%$$, $$15\%$$, $$25\%$$, $$20\%$$; 2а) $$2$$ способа; 2б) $$0$$ способов.
