Дополнительная задача 7 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) f(g(x)); в) f(g(2х)); д) g(f(g(x)));
б) g(f(x)); г) g(f(-2х)); е) f(g(f(x))). Многочлен Р(х) равен произведению многочленов Р_1 (х) и Р_2 (х). Не раскрывая полностью скобок, найдите коэффициент при х^2 многочлена Р(х), если:
а) Р_1 (х) = 2х + 7 и Р_2 (х) = х^2 — 2х;
б) Р_1 (х) = 2 — 3х и Р_2 (х) = х^2 + 2х + 3;
в) Р_1 (х) = —х — 6 и Р_2 (х) = х^2 — 3х + 9;
г) P_1 (x) = 2 — 3х и Р_2 (х) = -х^2 + 2х — 5;
д) Р_1 (х) = х^2 + х и Р_2 (х) = 3х^2 — х + 4;
е) Р_1 (х) = х^2 + 4х — 1 и Р_2 (х) = 3х^2 — х + 4.

Подробный ответ

Даны $$f(x)=x^2$$ и $$g(x)=x^3$$.

$$f(g(x))=f(x^3)=(x^3)^2=x^6$$
$$g(f(x))=g(x^2)=(x^2)^3=x^6$$
$$f(g(2x))=f((2x)^3)=f(8x^3)=(8x^3)^2=64x^6$$
$$g(f(-2x))=g((-2x)^2)=g(4x^2)=(4x^2)^3=64x^6$$
$$g(f(g(x)))=g(f(x^3))=g((x^3)^2)=g(x^6)=(x^6)^3=x^{18}$$
$$f(g(f(x)))=f(g(x^2))=f((x^2)^3)=f(x^6)=(x^6)^2=x^{12}$$
Коэффициент при $$x^2$$ в произведении $$P(x)=P_1(x)\cdot P_2(x)$$ находим, перемножая только те слагаемые, которые дают $$x^2$$.
а) $$P(x)=(2x+7)(x^2-2x)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$7\cdot x^2+2x\cdot(-2x)=7x^2-4x^2=3x^2$$
б) $$P(x)=(2-3x)(x^2+2x+3)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$2\cdot x^2+(-3x)\cdot 2x=2x^2-6x^2=-4x^2$$
в) $$P(x)=(-x-6)(x^2-3x+9)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$(-x)\cdot(-3x)+(-6)\cdot x^2=3x^2-6x^2=-3x^2$$
г) $$P(x)=(2-3x)(-x^2+2x-5)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$2\cdot(-x^2)+(-3x)\cdot 2x=-2x^2-6x^2=-8x^2$$
д) $$P(x)=(x^2+x)(3x^2-x+4)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$x^2\cdot 4+x\cdot(-x)=4x^2-x^2=3x^2$$
е) $$P(x)=(x^2+4x-1)(3x^2-x+4)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$x^2\cdot 4+4x\cdot(-x)+(-1)\cdot 3x^2=4x^2-4x^2-3x^2=-3x^2$$