Дополнительная задача 7 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Для целых чисел докажите, что:
а) если число кратно 3, то его квадрат кратен 9 (и, в частности, кратен 3);
б) если число при делении на 3 даёт остаток 1, то его квадрат при делении на 3 также даёт остаток 1;
в) если число при делении на 3 даёт остаток 2, то его квадрат при делении на 3 даёт остаток 1;
г) квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3;
д) уравнение $$x^2=3y+2$$ не имеет решений (в целых числах);
е) уравнение $$x^2+4xy+y^2=3y+2$$ не имеет решений (в целых числах). - Данные из сгруппированного ряда С, …, С, е, …, е, м, …, м, ь, …, ь переносят в таблицу распределения частот, в которой пока не заполнен прямоугольник $$4 \times 2$$.
1) Найдите частоту (%): а) данного «С»; б) данного «е»; в) данного «м»; г) данного «ь».
2) Найдите число верных способов заполнения, при которых: а) в первых двух клетках второй строки могут стоять 40 и 15; б) 10 может стоять во второй строке.
а) Пусть целое число кратно 3. Тогда его можно записать в виде $$3n$$, где $$n$$ — целое число. Тогда
$$(3n)^2=9n^2,$$
то есть квадрат этого числа кратен $$9$$, а значит, и $$3$$.
б) Пусть целое число при делении на 3 даёт остаток 1. Тогда оно имеет вид $$3n+1$$. Тогда
$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1.$$
Значит, при делении на 3 квадрат тоже даёт остаток 1.
в) Пусть целое число при делении на 3 даёт остаток 2. Тогда оно имеет вид $$3n+2$$. Тогда
$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1.$$
Следовательно, при делении на 3 квадрат снова даёт остаток 1.
г) При делении целого числа на 3 возможны остатки только $$0$$, $$1$$ или $$2$$. По пунктам а)–в) квадрат целого числа при делении на 3 может давать только остатки $$0$$ или $$1$$. Остаток $$2$$ невозможен.
д) Уравнение $$x^2=3y+2$$ не имеет решений в целых числах, так как правая часть при делении на 3 даёт остаток $$2$$, а квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на 3.
е) Преобразуем уравнение:
$$x^2+4xy+y^2=3y+2$$
$$x^2+4xy+4y^2-3y^2=3y+2$$
$$(x+2y)^2=3y^2+3y+2.$$
Правая часть при делении на 3 даёт остаток $$2$$, а квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на 3. Значит, целых решений нет.
В таблице частот всего $$20$$ повторений.
Частоты:
$$\frac{8}{20}\cdot 100\%=40\%,\quad \frac{3}{20}\cdot 100\%=15\%,\quad \frac{5}{20}\cdot 100\%=25\%,\quad \frac{4}{20}\cdot 100\%=20\%.$$
Значит, для данных букв: $$C$$ — $$40\%$$, $$e$$ — $$15\%$$, $$M$$ — $$25\%$$, $$ь$$ — $$20\%$$.
2)
а) Если в первых двух клетках второй строки стоят числа $$40$$ и $$15$$, то в двух оставшихся клетках должны стоять $$25$$ и $$20$$. Их можно переставить $$2! = 2$$ способами.
б) Число $$10$$ не может стоять во второй строке, так как во второй строке должны быть частоты, а не произвольные числа. Поэтому таких способов $$0$$.
Ответ
а) квадрат числа, кратного 3, кратен 9 и 3; б) остаток 1; в) остаток 1; г) не может; д) решений нет; е) решений нет; частоты: $$40\%$$, $$15\%$$, $$25\%$$, $$20\%$$; 2а) $$2$$ способа; 2б) $$0$$ способов.
