Дополнительная задача 7 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
Многочлен $$P(x)$$ равен произведению многочленов $$P_1(x)$$ и $$P_2(x)$$. Не раскрывая полностью скобок, найдите коэффициент при $$x^2$$ многочлена $$P(x)$$, если:
а) $$P_1(x)=2x+7$$ и $$P_2(x)=x^2-2x$$;
б) $$P_1(x)=2-3x$$ и $$P_2(x)=x^2+2x+3$$;
в) $$P_1(x)=-x-6$$ и $$P_2(x)=x^2-3x+9$$;
г) $$P_1(x)=2-3x$$ и $$P_2(x)=-x^2+2x-5$$;
д) $$P_1(x)=x^2+x$$ и $$P_2(x)=3x^2-x+4$$;
е) $$P_1(x)=x^2+4x-1$$ и $$P_2(x)=3x^2-x+4$$.
Для целых чисел докажите, что:
а) если число кратно $$3$$, то его квадрат кратен $$9$$ (и, в частности, кратен $$3$$);
б) если число при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$, то его квадрат при делении на $$3$$ также даёт остаток $$1$$;
в) если число при делении на $$3$$ даёт остаток $$2$$, то его квадрат при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$;
г) квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на $$3$$;
д) уравнение $$x^2=3y+2$$ не имеет решений (в целых числах);
е) уравнение $$x^2+4xy+y^2=3y+2$$ не имеет решений (в целых числах).
Найдём коэффициент при $$x^2$$ в произведении многочленов, не раскрывая скобки полностью.
а) $$P(x)=(2x+7)(x^2-2x)$$
Коэффициент при $$x^2$$ получается из произведений $$7\cdot x^2$$ и $$2x\cdot(-2x)$$:
$$7-4=3.$$
б) $$P(x)=(2-3x)(x^2+2x+3)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$2\cdot 2+(-3)\cdot 2=4-6=-2.$$
в) $$P(x)=(-x-6)(x^2-3x+9)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$(-x)\cdot(-3x)+(-6)\cdot x^2=3x^2-6x^2=-3x^2,$$
значит, коэффициент равен $$-3$$.
г) $$P(x)=(2-3x)(-x^2+2x-5)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$2\cdot(-x^2)+(-3x)\cdot 2x=-2x^2-6x^2=-8x^2,$$
значит, коэффициент равен $$-8$$.
д) $$P(x)=(x^2+x)(3x^2-x+4)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$x^2\cdot 4+x\cdot(-x)=4x^2-x^2=3x^2,$$
значит, коэффициент равен $$3$$.
е) $$P(x)=(x^2+4x-1)(3x^2-x+4)$$
Коэффициент при $$x^2$$:
$$x^2\cdot 4+4x\cdot(-x)+(-1)\cdot 3x^2=4x^2-4x^2-3x^2=-3x^2,$$
значит, коэффициент равен $$-3$$.
а) Пусть целое число равно $$3n$$. Тогда
$$\left(3n\right)^2=9n^2,$$
то есть квадрат кратен $$9$$, а значит, и кратен $$3$$.
б) Пусть целое число имеет вид $$3n+1$$. Тогда
$$\left(3n+1\right)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1.$$
Следовательно, при делении на $$3$$ квадрат даёт остаток $$1$$.
в) Пусть целое число имеет вид $$3n+2$$. Тогда
$$\left(3n+2\right)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1.$$
Значит, при делении на $$3$$ квадрат также даёт остаток $$1$$.
г) При делении целого числа на $$3$$ возможны остатки только $$0$$, $$1$$ или $$2$$. Но по пунктам а)–в) квадрат целого числа при делении на $$3$$ даёт только остаток $$0$$ или $$1$$. Следовательно, остаток $$2$$ невозможен.
д) Уравнение $$x^2=3y+2$$ не имеет решений в целых числах, так как правая часть при делении на $$3$$ даёт остаток $$2$$, а квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на $$3$$.
е) Преобразуем уравнение:
$$x^2+4xy+y^2=3y+2$$
$$x^2+4xy+4y^2-3y^2=3y+2$$
$$\left(x+2y\right)^2=3y^2+3y+2.$$
Правая часть при делении на $$3$$ даёт остаток $$2$$, а квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на $$3$$. Значит, целых решений нет.
Ответ
1) а) $$3$$; б) $$-2$$; в) $$-3$$; г) $$-8$$; д) $$3$$; е) $$-3$$.
2) а) доказано; б) доказано; в) доказано; г) доказано; д) решений в целых числах нет; е) решений в целых числах нет.
