Упр.60 Повторение ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 7 класс, Бином: Найдите четырёхзначное число, кратное 45, все цифры которого нечётны и три из них одинаковые. Укажите все варианты.

Подробный ответ

Пусть четырёхзначное число имеет вид $$\overline{abcd}.$$

Так как число кратно $$45,$$ то оно делится на $$5$$ и на $$9.$$

Из делимости на $$5$$ получаем, что последняя цифра равна $$5$$. Значит, $$d=5.$$

Все цифры числа нечётны, а три из них одинаковые. Тогда среди цифр $$a,b,c$$ три одинаковые, и число имеет вид $$xxx5.$$

Проверим делимость на $$9$$. Сумма цифр должна делиться на $$9$$:

$$x+x+x+5=3x+5.$$

Подберём нечётные цифры $$x$$:

$$3x+5 \equiv 0 \pmod 9.$$

Проверяем возможные нечётные цифры $$x=1,3,5,7,9$$:

$$x=1: \; 3\cdot 1+5=8,$$ не делится на $$9$$;
$$x=3: \; 3\cdot 3+5=14,$$ не делится на $$9$$;
$$x=5: \; 3\cdot 5+5=20,$$ не делится на $$9$$;
$$x=7: \; 3\cdot 7+5=26,$$ не делится на $$9$$;
$$x=9: \; 3\cdot 9+5=32,$$ не делится на $$9$$.

Но в записи числа три цифры одинаковые, а четвёртая равна $$5$$. Значит, нужно рассмотреть перестановки цифр $$3,5,5,5$$, $$5,3,5,5$$, $$5,5,3,5$$, $$5,5,5,3$$. Их сумма цифр равна $$18,$$ поэтому все такие числа делятся на $$9$$, а последняя цифра $$5$$ обеспечивает делимость на $$5.$$

Следовательно, подходят числа:

$$3555,\; 5355,\; 5535,\; 5553.$$