Дополнительная задача 6 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) р = 3; в) р = 5; д) р = 11;
б) р = 4; г) р = 6; е) р = 16. Данные из сгруппированного ряда Д, …, Д, D, …, D, д, …, д переносят в таблицу распределения, в которой пока не заполнен прямоугольник 3 x 2.
1) Найдите число верных способов заполнения таблицы, при которых:
а) «Д» может стоять в правой верхней ячейке;
б) «Д» может стоять во второй строке;
в) 10 может стоять в первой строке;
г) 9 и 10 могут стоять в соседних ячейках;
д) «D» и «д» могут стоять не в соседних ячейках.
2) Найдите число всех верных способов заполнения таблицы.

1) Решим уравнение $$x^2-y^2=p$$ при натуральных $$x>y$$.

Имеем

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$

Обозначим $$x-y=a$$, $$x+y=b$$. Тогда $$ab=p$$, причём $$a<b$$ и числа $$a$$, $$b$$ одной чётности.

а) $$p=3$$

$$3=1\cdot 3.$$

Тогда

$$x-y=1,\quad x+y=3.$$

Складываем:

$$2x=4,\quad x=2,\quad y=1.$$

Ответ: $$x=2,\ y=1.$$

б) $$p=4$$

Возможны разложения: $$4=1\cdot 4=2\cdot 2.$$

Пара $$1$$ и $$4$$ не подходит, так как числа разной чётности. Для $$2\cdot 2$$ получаем $$x-y=2$$ и $$x+y=2$$, откуда $$y=0$$, а это не натуральное число.

Ответ: решений нет.

в) $$p=5$$

$$5=1\cdot 5.$$

Тогда

$$x-y=1,\quad x+y=5.$$

Складываем:

$$2x=6,\quad x=3,\quad y=2.$$

Ответ: $$x=3,\ y=2.$$

г) $$p=6$$

Разложения числа $$6$$:

$$6=1\cdot 6=2\cdot 3.$$

В первом случае числа разной чётности, во втором тоже. Значит, подходящих натуральных $$x$$ и $$y$$ нет.

Ответ: решений нет.

д) $$p=11$$

$$11=1\cdot 11.$$

Тогда

$$x-y=1,\quad x+y=11.$$

Складываем:

$$2x=12,\quad x=6,\quad y=5.$$

Ответ: $$x=6,\ y=5.$$

е) $$p=16$$

Разложения числа $$16$$:

$$16=1\cdot 16=2\cdot 8=4\cdot 4.$$

Подходит только пара $$2\cdot 8$$, так как числа одной чётности и $$x>y$$.

Тогда

$$x-y=2,\quad x+y=8.$$

Складываем:

$$2x=10,\quad x=5,\quad y=3.$$

Ответ: $$x=5,\ y=3.$$

2) В таблице 3×2 всего 6 ячеек, в них нужно разместить числа $$10, 9, 6$$ и буквы $$D, D, d$$.

Число способов заполнения таблицы равно числу перестановок с повторениями:

$$\frac{6!}{2!}=360.$$

Поясним пункты:

• а) если $$D$$ стоит в правой верхней ячейке, то вторую букву $$D$$ можно поставить в любую из оставшихся 5 ячеек, а $$d$$ — в любую из оставшихся 4 ячеек: $$5\cdot 4=20$$ способов;
• б) если $$D$$ может стоять во второй строке, то это возможно в любом верном заполнении, значит способов столько же, сколько и в общем случае: $$360$$;
• в) число $$10$$ может стоять в первой строке: выбрать ячейку для $$10$$ можно 3 способами, затем остальные элементы расставляются $$\frac{5!}{2!}=60$$ способами, всего $$3\cdot 60=180$$;
• г) числа $$9$$ и $$10$$ в соседних ячейках: таких пар соседних клеток в таблице 7, для каждой пары есть 2 порядка размещения, остальные 4 элемента расставляются $$\frac{4!}{2!}=12$$ способами, всего $$7\cdot 2\cdot 12=168$$;
• д) $$D$$ и $$d$$ не в соседних ячейках: удобнее считать по дополнению. Всего способов $$360$$, а соседними они могут стоять в $$12$$ случаях, значит не соседними — $$360-12=348$$.

Ответ: а) $$20$$; б) $$360$$; в) $$180$$; г) $$168$$; д) $$348$$.

Ответ

1) а) $$x=2,\ y=1$$; б) решений нет; в) $$x=3,\ y=2$$; г) решений нет; д) $$x=6,\ y=5$$; е) $$x=5,\ y=3$$.

2) а) $$20$$; б) $$360$$; в) $$180$$; г) $$168$$; д) $$348$$.