Дополнительная задача 6 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

В скольких случаях у Ксении получится одночлен, степень которого меньше 6, если:
а) № 1 = {х, х^5}, № 2 = {х^2, х^3};
б) № 1 = {у, у^3, у^6}, № 2 = (y^2, у^4};
в) № 1 = {3, с^7}, № 2 = {-2, 3, с^2};
г) № 1 = {а, 2а^3, 3а^7}, № 2 = {5, а^8};
д) № 1 = {х^2, х^3}, № 2 = {х, х^2};
е) № 1 = {z, z^2, z^3}, № 2 = {z, z^2, z^3}?
Для натуральных чисел х > у решите уравнение х^2 — у^2 = р или обоснуйте отсутствие решений при:
а) р = 3; в) р = 5; д) р = 11;
б) р = 4; г) р = 6; е) р = 16.

Подробный ответ

а) № 1 = {x, x⁵}, № 2 = {x², x⁴}.
Возможные произведения:
$$x \cdot x^2 = x^3,\quad x \cdot x^4 = x^5,\quad x^5 \cdot x^2 = x^7,\quad x^5 \cdot x^4 = x^9.$$
Степень меньше 6 получается в 2 случаях.
б) № 1 = {y, y³, y⁶}, № 2 = {y², y⁴}.
Возможные произведения:
$$y \cdot y^2 = y^3,\quad y \cdot y^4 = y^5,\quad y^3 \cdot y^2 = y^5,\quad y^3 \cdot y^4 = y^7,\quad y^6 \cdot y^2 = y^8,\quad y^6 \cdot y^4 = y^{10}.$$
Степень меньше 6 получается в 3 случаях.
в) № 1 = {3, c⁷}, № 2 = {-2, 3, c²}.
Возможные произведения:
$$3 \cdot (-2) = -6,\quad 3 \cdot 3 = 9,\quad 3 \cdot c^2 = 3c^2,$$
$$c^7 \cdot (-2) = -2c^7,\quad c^7 \cdot 3 = 3c^7,\quad c^7 \cdot c^2 = c^9.$$
Степень меньше 6 получается в 3 случаях.
г) № 1 = {a, 2a³, 3a⁷}, № 2 = {5, a⁸}.
Возможные произведения:
$$a \cdot 5 = 5a,\quad a \cdot a^8 = a^9,\quad 2a^3 \cdot 5 = 10a^3,\quad 2a^3 \cdot a^8 = 2a^{11},\quad 3a^7 \cdot 5 = 15a^7,\quad 3a^7 \cdot a^8 = 3a^{15}.$$
Степень меньше 6 получается в 2 случаях.
д) № 1 = {x², x³}, № 2 = {x, x²}.
Возможные произведения:
$$x^2 \cdot x = x^3,\quad x^2 \cdot x^2 = x^4,\quad x^3 \cdot x = x^4,\quad x^3 \cdot x^2 = x^5.$$
Степень меньше 6 получается в 4 случаях.
е) № 1 = {z, z², z³}, № 2 = {z, z², z³}.
Возможные произведения:
$$z \cdot z = z^2,\quad z \cdot z^2 = z^3,\quad z \cdot z^3 = z^4,$$
$$z^2 \cdot z = z^3,\quad z^2 \cdot z^2 = z^4,\quad z^2 \cdot z^3 = z^5,$$
$$z^3 \cdot z = z^4,\quad z^3 \cdot z^2 = z^5,\quad z^3 \cdot z^3 = z^6.$$
Степень меньше 6 получается в 8 случаях.

Ход решения

а) При $$p=3$$:
$$x^2-y^2=3$$
$$ (x-y)(x+y)=3.$$
Так как $$3=1\cdot 3,$$ получаем:
$$x-y=1,\quad x+y=3.$$
Складываем:
$$2x=4,\quad x=2,\quad y=1.$$
Подходит.
б) При $$p=4$$:
$$x^2-y^2=4$$
$$ (x-y)(x+y)=4.$$
Возможные разложения числа 4 на множители дают либо $$y=1.5,$$ либо $$y=0,$$ либо отрицательное значение $$y.$$ Натуральных решений нет.
в) При $$p=5$$:
$$x^2-y^2=5$$
$$ (x-y)(x+y)=5.$$
Так как $$5=1\cdot 5,$$ получаем:
$$x-y=1,\quad x+y=5.$$
Тогда
$$2x=6,\quad x=3,\quad y=2.$$
г) При $$p=6$$:
$$x^2-y^2=6$$
$$ (x-y)(x+y)=6.$$
Проверка разложений $$6=1\cdot 6=2\cdot 3$$ и обратных им даёт только ненатуральные значения $$y.$$ Натуральных решений нет.
д) При $$p=11$$:
$$x^2-y^2=11$$
$$ (x-y)(x+y)=11.$$
Так как $$11=1\cdot 11,$$ получаем:
$$x-y=1,\quad x+y=11.$$
Тогда
$$2x=12,\quad x=6,\quad y=5.$$
е) При $$p=16$$:
$$x^2-y^2=16$$
$$ (x-y)(x+y)=16.$$
Проверка разложений $$16=1\cdot 16=2\cdot 8=4\cdot 4$$ и обратных им даёт единственное натуральное решение:
$$x-y=2,\quad x+y=8.$$
Тогда
$$2x=10,\quad x=5,\quad y=3.$$