Дополнительная задача 6 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- В упражнениях 5, 6 Катя выбирает одночлен из списка № 1, Кира выбирает одночлен из списка № 2, а Ксения верно перемножает их и приводит произведение к стандартному виду. В скольких случаях у Ксении получится одночлен, степень которого меньше 6, если:
а) № 1 = $$\{х, х^5\}$$, № 2 = $$\{х^2, х^3\}$$;
б) № 1 = $$\{у, у^3, у^6\}$$, № 2 = $$\{у^2, у^4\}$$;
в) № 1 = $$\{3, с^7\}$$, № 2 = $$\{-2, 3, с^2\}$$;
г) № 1 = $$\{а, 2а^3, 3а^7\}$$, № 2 = $$\{5, а^8\}$$;
д) № 1 = $$\{х^2, х^3\}$$, № 2 = $$\{х, х^2\}$$;
е) № 1 = $$\{z, z^2, z^3\}$$, № 2 = $$\{z, z^2, z^3\}$$? - Для натуральных чисел $$х > у$$ решите уравнение $$х^2-у^2=р$$ или обоснуйте отсутствие решений при:
а) $$р=3$$; б) $$р=4$$; в) $$р=5$$; г) $$р=6$$; д) $$р=11$$; е) $$р=16$$.
а) № 1 = {x, x5}, № 2 = {x2, x4}.
Возможные произведения:
$$x \cdot x^2 = x^3,\quad x \cdot x^4 = x^5,\quad x^5 \cdot x^2 = x^7,\quad x^5 \cdot x^4 = x^9.$$
Степень меньше 6 получается в 2 случаях.
б) № 1 = {y, y3, y6}, № 2 = {y2, y4}.
Возможные произведения:
$$y \cdot y^2 = y^3,\quad y \cdot y^4 = y^5,\quad y^3 \cdot y^2 = y^5,\quad y^3 \cdot y^4 = y^7,\quad y^6 \cdot y^2 = y^8,\quad y^6 \cdot y^4 = y^{10}.$$
Степень меньше 6 получается в 3 случаях.
в) № 1 = {3, c7}, № 2 = {-2, 3, c2}.
Возможные произведения:
$$3 \cdot (-2) = -6,\quad 3 \cdot 3 = 9,\quad 3 \cdot c^2 = 3c^2,$$
$$c^7 \cdot (-2) = -2c^7,\quad c^7 \cdot 3 = 3c^7,\quad c^7 \cdot c^2 = c^9.$$
Степень меньше 6 получается в 3 случаях.
г) № 1 = {a, 2a3, 3a7}, № 2 = {5, a8}.
Возможные произведения:
$$a \cdot 5 = 5a,\quad a \cdot a^8 = a^9,\quad 2a^3 \cdot 5 = 10a^3,\quad 2a^3 \cdot a^8 = 2a^{11},\quad 3a^7 \cdot 5 = 15a^7,\quad 3a^7 \cdot a^8 = 3a^{15}.$$
Степень меньше 6 получается в 2 случаях.
д) № 1 = {x2, x3}, № 2 = {x, x2}.
Возможные произведения:
$$x^2 \cdot x = x^3,\quad x^2 \cdot x^2 = x^4,\quad x^3 \cdot x = x^4,\quad x^3 \cdot x^2 = x^5.$$
Степень меньше 6 получается в 4 случаях.
е) № 1 = {z, z2, z3}, № 2 = {z, z2, z3}.
Возможные произведения:
$$z \cdot z = z^2,\quad z \cdot z^2 = z^3,\quad z \cdot z^3 = z^4,$$
$$z^2 \cdot z = z^3,\quad z^2 \cdot z^2 = z^4,\quad z^2 \cdot z^3 = z^5,$$
$$z^3 \cdot z = z^4,\quad z^3 \cdot z^2 = z^5,\quad z^3 \cdot z^3 = z^6.$$
Степень меньше 6 получается в 8 случаях.
а) При $$p=3$$:
$$x^2-y^2=3$$
$$(x-y)(x+y)=3.$$
Так как $$3=1\cdot 3,$$ получаем:
$$x-y=1,\quad x+y=3.$$
Складываем:
$$2x=4,\quad x=2,\quad y=1.$$
Подходит.
б) При $$p=4$$:
$$x^2-y^2=4$$
$$(x-y)(x+y)=4.$$
Возможные разложения числа 4 на множители дают либо $$y=1.5,$$ либо $$y=0,$$ либо отрицательное значение $$y.$$ Натуральных решений нет.
в) При $$p=5$$:
$$x^2-y^2=5$$
$$(x-y)(x+y)=5.$$
Так как $$5=1\cdot 5,$$ получаем:
$$x-y=1,\quad x+y=5.$$
Тогда
$$2x=6,\quad x=3,\quad y=2.$$
г) При $$p=6$$:
$$x^2-y^2=6$$
$$(x-y)(x+y)=6.$$
Проверка разложений $$6=1\cdot 6=2\cdot 3$$ и обратных им даёт только ненатуральные значения $$y.$$ Натуральных решений нет.
д) При $$p=11$$:
$$x^2-y^2=11$$
$$(x-y)(x+y)=11.$$
Так как $$11=1\cdot 11,$$ получаем:
$$x-y=1,\quad x+y=11.$$
Тогда
$$2x=12,\quad x=6,\quad y=5.$$
е) При $$p=16$$:
$$x^2-y^2=16$$
$$(x-y)(x+y)=16.$$
Проверка разложений $$16=1\cdot 16=2\cdot 8=4\cdot 4$$ и обратных им даёт единственное натуральное решение:
$$x-y=2,\quad x+y=8.$$
Тогда
$$2x=10,\quad x=5,\quad y=3.$$
Ответ
1) а) 2 случая; б) 3 случая; в) 3 случая; г) 2 случая; д) 4 случая; е) 8 случаев.
2) а) $$x=2,\ y=1$$; б) решений нет; в) $$x=3,\ y=2$$; г) решений нет; д) $$x=6,\ y=5$$; е) $$x=5,\ y=3$$.
