Дополнительная задача 6 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Найдите все значения $$a$$ и $$b$$, при которых пара чисел $$\left(2a-1;\,3b+2\right)$$ будет решением системы:

а) $$\begin{cases}x=y-2,\\y=2x+1;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}x=3y-2,\\y=4x-3;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}x+y=2,\\x-2y=0;\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}x-2y=10,\\x-y=7;\end{cases}$$

д) $$\begin{cases}2x-y=10,\\x+2y=4;\end{cases}$$

е) $$\begin{cases}2x+y=20,\\x-3y=-25.\end{cases}$$

1. Пара $$\left(2a-1;\,3b+2\right)$$ должна удовлетворять каждому уравнению системы.

   а) $$\begin{cases}x=y-2\\y=2x+1\end{cases}$$

   Подставим $$x=2a-1,\ y=3b+2$$:

   $$\begin{cases} 2a-1=3b+2-2\\ 3b+2=2(2a-1)+1 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 2a-3b=1\\ 4a-3b=3 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$(4a-3b)-(2a-3b)=3-1$$
   $$2a=2,\quad a=1$$

   Тогда из $$2a-3b=1$$:

   $$2\cdot 1-3b=1,\quad 3b=1,\quad b=\frac13$$

2. б) $$\begin{cases}x=3y-2\\y=4x-3\end{cases}$$

   Подставим $$x=2a-1,\ y=3b+2$$:

   $$\begin{cases} 2a-1=3(3b+2)-2\\ 3b+2=4(2a-1)-3 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 2a-9b=5\\ 8a-3b=9 \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$:

   $$\begin{cases} 6a-27b=15\\ 8a-3b=9 \end{cases}$$

   Умножим второе уравнение на $$9$$:

   $$\begin{cases} 6a-27b=15\\ 72a-27b=81 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$66a=66,\quad a=1$$

   Тогда из $$2a-9b=5$$:

   $$2\cdot 1-9b=5,\quad -9b=3,\quad b=-\frac13$$

3. в) $$\begin{cases}x+y=2\\x-2y=0\end{cases}$$

   Подставим $$x=2a-1,\ y=3b+2$$:

   $$\begin{cases} 2a-1+3b+2=2\\ 2a-1-2(3b+2)=0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 2a+3b=1\\ 2a-6b=5 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$(2a-6b)-(2a+3b)=5-1$$
   $$-9b=4,\quad b=-\frac49$$

   Тогда из $$2a+3b=1$$:

   $$2a+3\left(-\frac49\right)=1,\quad 2a-\frac43=1,\quad 2a=\frac73,\quad a=\frac76$$

4. г) $$\begin{cases}x-2y=10\\x-y=7\end{cases}$$

   Подставим $$x=2a-1,\ y=3b+2$$:

   $$\begin{cases} 2a-1-2(3b+2)=10\\ 2a-1-(3b+2)=7 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 2a-6b=15\\ 2a-3b=10 \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$(2a-6b)-(2a-3b)=15-10$$
   $$-3b=5,\quad b=-\frac53$$

   Тогда из $$2a-3b=10$$:

   $$2a-3\left(-\frac53\right)=10,\quad 2a+5=10,\quad 2a=5,\quad a=\frac52$$

5. д) $$\begin{cases}2x-y=10\\x+2y=4\end{cases}$$

   Подставим $$x=2a-1,\ y=3b+2$$:

   $$\begin{cases} 2(2a-1)-(3b+2)=10\\ (2a-1)+2(3b+2)=4 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 4a-3b=14\\ 2a+6b=1 \end{cases}$$

   Умножим второе уравнение на $$2$$:

   $$\begin{cases} 4a-3b=14\\ 4a+12b=2 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$15b=-12,\quad b=-\frac45$$

   Тогда из $$2a+6b=1$$:

   $$2a+6\left(-\frac45\right)=1,\quad 2a-\frac{24}{5}=1,\quad 2a=\frac{29}{5},\quad a=\frac{29}{10}$$

6. е) $$\begin{cases}2x+y=20\\x-3y=-25\end{cases}$$

   Подставим $$x=2a-1,\ y=3b+2$$:

   $$\begin{cases} 2(2a-1)+(3b+2)=20\\ (2a-1)-3(3b+2)=-25 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 4a+3b=20\\ 2a-9b=-18 \end{cases}$$

   Умножим второе уравнение на $$2$$:

   $$\begin{cases} 4a+3b=20\\ 4a-18b=-36 \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$21b=56,\quad b=\frac{8}{3}$$

   Тогда из $$4a+3b=20$$:

   $$4a+3\cdot\frac83=20,\quad 4a+8=20,\quad 4a=12,\quad a=3$$

Ответ

а) $$a=1,\ b=\frac13$$; б) $$a=1,\ b=-\frac13$$; в) $$a=\frac76,\ b=-\frac49$$; г) $$a=\frac52,\ b=-\frac53$$; д) $$a=\frac{29}{10},\ b=-\frac45$$; е) $$a=3,\ b=\frac83$$.