Упр.58 Повторение ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 7 класс, Бином: Найдите все трёхзначные натуральные числа, которые при делении на 4 и на 15 имеют одинаковые не равные нулю остатки, при этом цифра в разряде десятков этого числа является средним арифметическим двух других цифр.

Подробный ответ

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $$\overline{abc}=100a+10b+c,$$ где $$a\neq 0.$$

По условию цифра десятков является средним арифметическим двух других цифр, значит

$$b=\frac{a+c}{2}, \qquad a+c=2b.$$

При делении на $$4$$ и на $$15$$ число имеет одинаковые ненулевые остатки. Обозначим этот остаток через $$r$$. Тогда

$$\overline{abc}=60k+r,$$

так как $$\operatorname{lcm}(4,15)=60.$$

Подставим $$\overline{abc}=100a+10b+c$$ и учтём, что $$c=2b-a$$:

$$100a+10b+c=60k+r,$$

$$100a+10b+2b-a=60k+r,$$

$$99a+12b=60k+r.$$

Так как остаток при делении на $$4$$ и на $$15$$ одинаковый и ненулевой, то он должен быть кратен $$3$$. Из возможных остатков подходит только $$r=3.$$ Тогда

$$99a+12b=60k+3.$$

Делим на $$3$$:

$$33a+4b=20k+1.$$

Из равенства $$a+c=2b$$ получаем $$c=2b-a.$$ Подберём цифры $$a,b,c$$, удовлетворяющие всем условиям. Проверка даёт три числа:

$$123$$: $$1+3=2\cdot 2,$$ остаток при делении на $$4$$ и на $$15$$ равен $$3$$;
$$543$$: $$5+3=2\cdot 4,$$ остаток при делении на $$4$$ и на $$15$$ равен $$3$$;
$$963$$: $$9+3=2\cdot 6,$$ остаток при делении на $$4$$ и на $$15$$ равен $$3$$.

Других трёхзначных чисел, удовлетворяющих всем условиям, нет.