Дополнительная задача 5 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) если числа последовательные, то разность их квадратов нечётна;
б) если числа различаются на 2, то разность их квадратов кратна 4;
в) если числа различаются на 4, то разность их квадратов кратна 8;
г) если числа различаются на k, то разность их квадратов кратна k;
д) если числа различаются на 2k, то разность их квадратов кратна 4k;
е) если числа различаются на нечётное число, то разность их квадратов нечётна.
Для каждого упорядоченного ряда из предыдущего упражнения, п. 1, нашли объём, размах, моду, медиану. Выпишите упорядоченный ряд из:
а) объёмов; г) медиан;
б) размахов; д) мод и объёмов;
в) мод; е) размахов, мод и медиан.

1. Пусть даны целые последовательные числа $$n$$ и $$n+1$$. Тогда

   $$ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1. $$

   Получили нечётное число, значит разность квадратов нечётна.

2. Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+2$$. Тогда

   $$ (n+2)^2-n^2=n^2+4n+4-n^2=4n+4=4(n+1). $$

   Следовательно, разность квадратов кратна $$4$$.

3. Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+4$$. Тогда

   $$ (n+4)^2-n^2=n^2+8n+16-n^2=8n+16=8(n+2). $$

   Значит, разность квадратов кратна $$8$$.

4. Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+k$$. Тогда

   $$ (n+k)^2-n^2=n^2+2nk+k^2-n^2=2nk+k^2=k(2n+k). $$

   Следовательно, разность квадратов кратна $$k$$.

5. Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+2k$$. Тогда

   $$ (n+2k)^2-n^2=n^2+4nk+4k^2-n^2=4nk+4k^2=4k(n+k). $$

   Значит, разность квадратов кратна $$4k$$.

6. Пусть числа отличаются на нечётное число $$2k+1$$. Тогда даны числа $$n$$ и $$n+(2k+1)$$. Имеем

   $$ (n+2k+1)^2-n^2=n^2+2n(2k+1)+(2k+1)^2-n^2 $$

   $$ =4nk+2n+4k^2+4k+1=2(2nk+n+2k^2+2k)+1. $$

   Это нечётное число, значит разность квадратов нечётна.

Ответ

а) нечётна; б) кратна $$4$$; в) кратна $$8$$; г) кратна $$k$$; д) кратна $$4k$$; е) нечётна.