Дополнительная задача 5 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Для целых чисел докажите, что:
а) если числа последовательные, то разность их квадратов нечётна;
б) если числа различаются на 2, то разность их квадратов кратна 4;
в) если числа различаются на 4, то разность их квадратов кратна 8;
г) если числа различаются на $$k$$, то разность их квадратов кратна $$k$$;
д) если числа различаются на $$2k$$, то разность их квадратов кратна $$4k$$;
е) если числа различаются на нечётное число, то разность их квадратов нечётна. - Для каждого упорядоченного ряда из предыдущего упражнения, п. 1, найдите объём, размах, моду, медиану. Выпишите упорядоченный ряд из:
а) объёмов;
г) медиан;
б) размахов;
д) мод и объёмов;
в) мод;
е) размахов, мод и медиан.
Пусть даны целые последовательные числа $$n$$ и $$n+1$$. Тогда
$$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1.$$
Получили нечётное число, значит разность квадратов нечётна.
Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+2$$. Тогда
$$(n+2)^2-n^2=n^2+4n+4-n^2=4n+4=4(n+1).$$
Следовательно, разность квадратов кратна $$4$$.
Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+4$$. Тогда
$$(n+4)^2-n^2=n^2+8n+16-n^2=8n+16=8(n+2).$$
Значит, разность квадратов кратна $$8$$.
Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+k$$. Тогда
$$(n+k)^2-n^2=n^2+2nk+k^2-n^2=2nk+k^2=k(2n+k).$$
Следовательно, разность квадратов кратна $$k$$.
Пусть даны целые числа $$n$$ и $$n+2k$$. Тогда
$$(n+2k)^2-n^2=n^2+4nk+4k^2-n^2=4nk+4k^2=4k(n+k).$$
Значит, разность квадратов кратна $$4k$$.
Пусть числа отличаются на нечётное число $$2k+1$$. Тогда даны числа $$n$$ и $$n+(2k+1)$$. Имеем
$$(n+2k+1)^2-n^2=n^2+2n(2k+1)+(2k+1)^2-n^2$$
$$=4nk+2n+4k^2+4k+1=2(2nk+n+2k^2+2k)+1.$$
Это нечётное число, значит разность квадратов нечётна.
Ответ
а) нечётна; б) кратна $$4$$; в) кратна $$8$$; г) кратна $$k$$; д) кратна $$4k$$; е) нечётна.
