Упр.5.24 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$(p-4)x=p^2+4p$$:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень;
в) имеет бесконечное множество корней?
Рассмотрим уравнение $$(p-4)px=p^2+4p.$$
Это уравнение вида $$ax=b,$$ где $$a=(p-4)p,$$ $$b=p^2+4p=p(p+4).$$
Далее учитываем случаи для линейного уравнения:
- если $$a=0$$ и $$b\ne 0,$$ то корней нет;
- если $$a\ne 0,$$ то уравнение имеет один корень;
- если $$a=0$$ и $$b=0,$$ то корней бесконечно много.
а) Уравнение не имеет корней.
Нужно, чтобы
$$(p-4)p=0,$$
но при этом
$$p(p+4)\ne 0.$$
Из $$(p-4)p=0$$ получаем $$p=0$$ или $$p=4.$$
Проверим:
- при $$p=0$$ имеем $$p(p+4)=0,$$ значит корни есть бесконечно много;
- при $$p=4$$ имеем $$p(p+4)=32\ne 0,$$ значит корней нет.
Следовательно, в этом случае $$p=4.$$
б) Уравнение имеет один корень.
Это возможно, если
$$(p-4)p\ne 0.$$
Тогда
$$p\ne 0 \quad \text{и} \quad p\ne 4.$$
При этих значениях коэффициент при $$x$$ не равен нулю, значит уравнение имеет один корень.
в) Уравнение имеет бесконечно много корней.
Нужно, чтобы одновременно
$$(p-4)p=0 \quad \text{и} \quad p(p+4)=0.$$
Из первого равенства $$p=0$$ или $$p=4,$$ из второго — $$p=0$$ или $$p=-4.$$
Общее значение только одно:
$$p=0.$$
Ответ
а) $$p=4$$; б) $$p\ne 0,\ p\ne 4$$; в) $$p=0$$.
