Упр.5.24 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) не имеет корней;
б) имеет один корень;
в) имеет бесконечное множество корней?

Рассмотрим уравнение $$ (p-4)px=p^2+4p. $$

Это уравнение вида $$ax=b,$$ где $$a=(p-4)p,$$ $$b=p^2+4p=p(p+4).$$

Далее учитываем случаи для линейного уравнения:

• если $$a=0$$ и $$b\ne 0,$$ то корней нет;
• если $$a\ne 0,$$ то уравнение имеет один корень;
• если $$a=0$$ и $$b=0,$$ то корней бесконечно много.

а) Уравнение не имеет корней.

Нужно, чтобы

$$ (p-4)p=0, $$

но при этом

$$ p(p+4)\ne 0. $$

Из $$ (p-4)p=0 $$ получаем $$ p=0 $$ или $$ p=4. $$

Проверим:

• при $$p=0$$ имеем $$p(p+4)=0,$$ значит корни есть бесконечно много;
• при $$p=4$$ имеем $$p(p+4)=32\ne 0,$$ значит корней нет.

Следовательно, в этом случае $$p=4.$$

б) Уравнение имеет один корень.

Это возможно, если

$$ (p-4)p\ne 0. $$

Тогда

$$ p\ne 0 \quad \text{и} \quad p\ne 4. $$

При этих значениях коэффициент при $$x$$ не равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

в) Уравнение имеет бесконечно много корней.

Нужно, чтобы одновременно

$$ (p-4)p=0 \quad \text{и} \quad p(p+4)=0. $$

Из первого равенства $$p=0$$ или $$p=4,$$ из второго — $$p=0$$ или $$p=-4.$$

Общее значение только одно:

$$p=0.$$

Ответ

а) $$p=4$$; б) $$p\ne 0,\ p\ne 4$$; в) $$p=0$$.