Упр.47 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где
   $$f(x)= \begin{cases} -2x-4, & \text{если } x<-1,\\ -x^2, & \text{если } -1\leq x\leq 3. \end{cases}$$ Построив график функции $$y=f(x)$$, определите, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$: а) имеет два корня; б) имеет один корень; в) имеет три корня; г) не имеет корней.

Рассмотрим график функции

$$f(x)= \begin{cases} -2x-4, & x<-1,\\ -x^2, & -1\le x\le 3. \end{cases}$$

Нужно определить, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет заданное число корней. Это значит, что надо посмотреть, сколько точек пересечения имеет график функции с горизонтальной прямой $$y=p$$.

Для первой части графика $$y=-2x-4$$ при $$x<-1$$ значения функции больше $$-2$$, а при $$x\to -1-$$ получаем $$y\to -2$$, но точка $$(-1,-2)$$ не входит в эту часть графика.

Для второй части графика $$y=-x^2$$ при $$-1\le x\le 3$$ значения лежат от $$-9$$ до $$0$$.

Теперь рассмотрим случаи:

1. Два корня бывают, когда прямая $$y=p$$ пересекает график в двух точках. Это происходит при $$p=0$$ и при $$-2<p<-1$$.
2. Один корень бывает, когда прямая касается или пересекает график в одной точке. Это происходит при $$p=-9$$, $$p=-2$$ и при $$p>0$$.
3. Три корня бывают, когда прямая пересекает обе части графика в трёх точках. Это происходит при $$-1<p<0$$.
4. Корней нет, если прямая не пересекает график. Это происходит при $$p<-9$$.

Ответ

а) $$p=0$$ и $$-2<p<-1$$;
б) $$p=-9,\,-2$$ и $$p>0$$;
в) $$-1<p<0$$;
г) $$p<-9$$.