Упр.47.7 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

а) Сколько всего вариантов составления дроби существует?
б) Выпишите все дроби с числителем, равным а3 — а.
в) Какие из полученных дробей являются несократимыми?
г) В скольких случаях после сокращения получится многочлен второй степени?

Числитель можно выбрать 3 способами: $$a^2-1,\ a^2+a,\ a^3-a.$$

Знаменатель можно выбрать 2 способами: $$a-1,\ a+1.$$

Тогда всего дробей можно составить:

$$3\cdot 2=6.$$

б) Выпишем все дроби с числителем $$a^3-a$$:

$$\frac{a^3-a}{a-1},\quad \frac{a^3-a}{a+1}.$$

Разложим числитель на множители:

$$a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1).$$

в) Проверим, какие дроби несократимы:

$$\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}=a+1,$$

$$\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}=a-1,$$

$$\frac{a^2+a}{a-1}=\frac{a(a+1)}{a-1},$$

$$\frac{a^2+a}{a+1}=\frac{a(a+1)}{a+1}=a,$$

$$\frac{a^3-a}{a-1}=\frac{a(a-1)(a+1)}{a-1}=a(a+1),$$

$$\frac{a^3-a}{a+1}=\frac{a(a-1)(a+1)}{a+1}=a(a-1).$$

Несократимой является только дробь

$$\frac{a^2+a}{a-1}.$$

г) После сокращения многочлен второй степени получится в двух случаях:

$$\frac{a^3-a}{a-1}=a(a+1)=a^2+a,$$

$$\frac{a^3-a}{a+1}=a(a-1)=a^2-a.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$\frac{a^3-a}{a-1},\ \frac{a^3-a}{a+1}$$; в) $$\frac{a^2+a}{a-1}$$; г) $$2$$.