Упр.46.46 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$b$$ уравнение $$f(x)=b$$, где $$f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } x\leq 1;\\-2, & \text{если } x>1,\end{cases}$$ а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет бесконечное множество корней; г) не имеет корней?

Рассмотрим график функции

$$f(x)= \begin{cases} x^2, & x \le 1,\\ -2, & x>1. \end{cases}$$

Нужно определить, сколько точек пересечения имеет график уравнения $$f(x)=b$$ с графиком функции.

1) При $$x \le 1$$ имеем параболу $$y=x^2$$. На этом участке значения функции: $$y \in [0;+\infty)$$, но точка $$x=1$$ входит, значит значение $$y=1$$ тоже достигается.

2) При $$x>1$$ функция постоянна и равна $$-2$$, то есть график — горизонтальная прямая $$y=-2$$ при $$x>1$$.

Теперь рассмотрим возможные значения $$b$$:

• если $$b=0$$, то уравнение $$x^2=0$$ имеет один корень $$x=0$$;
• если $$0<b\le 1$$, то уравнение $$x^2=b$$ на промежутке $$x\le 1$$ имеет два корня;
• если $$b=-2$$, то равенство выполняется при любом $$x>1$$, значит корней бесконечно много;
• если $$b<-2$$ или $$-2<b<0$$, то значений функции таких нет, корней нет;
• если $$b>1$$, то уравнение $$x^2=b$$ при условии $$x\le 1$$ имеет один корень $$x=-\sqrt{b}$$, а второй корень $$x=\sqrt{b}$$ не подходит, так как $$\sqrt{b}>1$$.

Следовательно:

• один корень — при $$b=0$$ и $$b>1$$;
• два корня — при $$0<b\le 1$$;
• бесконечно много корней — при $$b=-2$$;
• корней нет — при $$-2<b<0$$ и $$b<-2$$.

Ответ

а) $$b=0$$ или $$b>1$$; б) $$0<b\le 1$$; в) $$b=-2$$; г) $$-2<b<0$$ или $$b<-2$$.