Упр.46.46 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)
f(x) = система
x2, если х < = 1;
-2, если x > 1,
а) имеет один корень;
б) имеет два корня;
в) имеет бесконечное множество корней;
г) не имеет корней?
Рассмотрим график функции
$$ f(x)= \begin{cases} x^2, & x \le 1,\\ -2, & x>1. \end{cases} $$
Нужно определить, сколько точек пересечения имеет график уравнения $$f(x)=b$$ с графиком функции.
1) При $$x \le 1$$ имеем параболу $$y=x^2$$. На этом участке значения функции: $$y \in [0;+\infty)$$, но точка $$x=1$$ входит, значит значение $$y=1$$ тоже достигается.
2) При $$x>1$$ функция постоянна и равна $$-2$$, то есть график — горизонтальная прямая $$y=-2$$ при $$x>1$$.
Теперь рассмотрим возможные значения $$b$$:
- если $$b=0$$, то уравнение $$x^2=0$$ имеет один корень $$x=0$$;
- если $$0<b\le 1$$, то уравнение $$x^2=b$$ на промежутке $$x\le 1$$ имеет два корня;
- если $$b=-2$$, то равенство выполняется при любом $$x>1$$, значит корней бесконечно много;
- если $$b<-2$$ или $$-2<b<0$$, то значений функции таких нет, корней нет;
- если $$b>1$$, то уравнение $$x^2=b$$ при условии $$x\le 1$$ имеет один корень $$x=-\sqrt{b}$$, а второй корень $$x=\sqrt{b}$$ не подходит, так как $$\sqrt{b}>1$$.
Следовательно:
- один корень — при $$b=0$$ и $$b>1$$;
- два корня — при $$0<b\le 1$$;
- бесконечно много корней — при $$b=-2$$;
- корней нет — при $$-2<b<0$$ и $$b<-2$$.
Ответ
а) $$b=0$$ или $$b>1$$; б) $$0<b\le 1$$; в) $$b=-2$$; г) $$-2<b<0$$ или $$b<-2$$.
