Упр.46 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x+6, & x\leqslant -2,\\ x^2, & -2<x\leqslant 2.\end{cases}$$ Построив график функции $$y=f(x)$$, определите, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$:

• а) имеет два корня;
• б) имеет один корень;
• в) имеет три корня;
• г) не имеет корней.

Рассмотрим график функции

$$f(x)= \begin{cases} x+6, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x\le 2. \end{cases}$$

Левая часть графика — прямая $$y=x+6$$ при $$x\le -2$$. На этом промежутке она принимает значения $$y\le 4$$, причём значение $$4$$ достигается при $$x=-2$$.

Правая часть графика — парабола $$y=x^2$$ при $$-2<x\le 2$$. На этом промежутке она принимает значения от $$0$$ до $$4$$.

Теперь определим, сколько точек пересечения имеет прямая $$y=p$$ с графиком функции.

• Если $$p<0$$, то прямая пересекает только левую часть графика, значит, корень один.
• Если $$p=0$$, то есть пересечение с прямой и с параболой в точке $$x=0$$, получаем два корня.
• Если $$0<p<4$$, то прямая пересекает обе части графика: левую — в одной точке и параболу — в двух точках, всего три корня.
• Если $$p=4$$, то получаем две точки пересечения: $$x=-2$$ и $$x=2$$, значит, два корня.
• Если $$p>4$$, то пересечений нет.

Ответ

а) $$p=0$$ или $$p=4$$;

б) $$p<0$$;

в) $$0<p<4$$;

г) $$p>4$$.