Упр.46 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = система
х + 6, если х < = -2, х2, если -2 < х < = 2. Построив график функции у = f(х), определите, при каких значениях р уравнение f(х) = р: а) имеет два корня; б) имеет один корень; в) имеет три корня; г) не имеет корней.

Подробный ответ

Рассмотрим график функции

$$ f(x)= \begin{cases} x+6, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x\le 2. \end{cases} $$

Левая часть графика — прямая $$y=x+6$$ при $$x\le -2$$. На этом промежутке она принимает значения $$y\le 4$$, причём значение $$4$$ достигается при $$x=-2$$.

Правая часть графика — парабола $$y=x^2$$ при $$-2<x\le 2$$. На этом промежутке она принимает значения от $$0$$ до $$4$$.

Теперь определим, сколько точек пересечения имеет прямая $$y=p$$ с графиком функции.

Если $$p<0$$, то прямая пересекает только левую часть графика, значит, корень один.
Если $$p=0$$, то есть пересечение с прямой и с параболой в точке $$x=0$$, получаем два корня.
Если $$0<p<4$$, то прямая пересекает обе части графика: левую — в одной точке и параболу — в двух точках, всего три корня.
Если $$p=4$$, то получаем две точки пересечения: $$x=-2$$ и $$x=2$$, значит, два корня.
Если $$p>4$$, то пересечений нет.