Упр.46.44 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = система
(х + 3)/2, если х < = -1; х2, если -1 < х < = 2, а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет три корня; г) не имеет корней?

Подробный ответ

Рассмотрим график функции

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x+3}{2}, & x\le -1,\\ x^2, & -1<x\le 2. \end{cases} $$

Нужно определить, при каких значениях $$b$$ прямая $$y=b$$ пересекает график функции.

Для первой части графика при $$x\le -1$$ имеем линейную функцию. В точке $$x=-1$$:

$$ f(-1)=\dfrac{-1+3}{2}=1. $$

Значит, левая часть графика даёт значения $$y\le 1$$.

Для второй части при $$-1<x\le 2$$ имеем $$y=x^2$$. На этом промежутке значения функции лежат от $$0$$ до $$4$$, причём:

$$ f(0)=0,\qquad f(2)=4. $$

Теперь определим число пересечений с прямой $$y=b$$:

если $$b<0$$, пересечение есть только с левой частью графика — один корень;
если $$b=0$$, прямая касается параболы в точке $$x=0$$ и ещё пересекает левую часть графика — два корня;
если $$0<b<1$$, прямая пересекает и левую часть, и параболу в двух точках — три корня;
если $$b=1$$, получаем два корня: один в точке $$x=-1$$ и один на параболе;
если $$1<b\le 4$$, пересечение только с параболой — один корень;
если $$b>4$$, пересечений нет.