Упр.46.43 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

f(x) = система
х + 6, если х < = -2; х2, если -2 < х < = 3, а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет три корня; г) не имеет корней?

Рассмотрим график функции

$$ f(x)= \begin{cases} x+6, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x\le 3. \end{cases} $$

Нужно определить, сколько точек пересечения имеет прямая $$y=b$$ с графиком функции.

Для первой части, $$y=x+6$$ при $$x\le -2$$, значения функции лежат в промежутке $$(-\infty;4]$$, так как при $$x=-2$$ получаем $$f(-2)=4$$.

Для второй части, $$y=x^2$$ при $$-2<x\le 3$$, значения функции лежат в промежутке $$[0;9]$$.

Теперь рассмотрим число пересечений в зависимости от $$b$$:

• если $$b<0$$, прямая $$y=b$$ пересекает только левую часть графика один раз;
• если $$b=0$$, получаем два корня: один на прямой $$y=x+6$$ и один на параболе $$y=x^2$$;
• если $$0<b<4$$, прямая $$y=b$$ пересекает график в трёх точках;
• если $$b=4$$, есть два корня: один на границе при $$x=-2$$ и один на параболе;
• если $$4<b\le 9$$, прямая $$y=b$$ пересекает только параболу в одной точке;
• если $$b>9$$, пересечений нет.

Ответ

а) $$b<0$$ или $$4<b\le 9$$;
б) $$b=0$$ или $$b=4$$;
в) $$0<b<4$$;
г) $$b>9$$.