Упр.46.42 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)
f(x) = система
1, если -3 < = х < = -1;
2x+2, если -1 < х < = 2;
x, если 2 < x < 4.
а) Вычислите f(-3), f(2), f(0), f(-1), f(1/2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) опишите свойства функции у = f(x) с помощью построенного графика.
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} 1, & -3 \le x \le -1,\\ x^2, & -1 < x \le 2,\\ 2x+2, & 2 < x < 4. \end{cases} $$
а) Найдём значения функции:
$$ f(-3)=1, $$
$$ f(2)=2^2=4, $$
$$ f(0)=0^2=0, $$
$$ f(-1)=1, $$
$$ f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^2=\frac14. $$
б) Построим график по частям:
- на отрезке $$[-3;-1]$$ — горизонтальный отрезок $$y=1$$;
- на промежутке $$(-1;2]$$ — часть параболы $$y=x^2$$;
- на промежутке $$ (2;4) $$ — часть прямой $$y=2x+2$$.
Точки $$(-3;1)$$ и $$(-1;1)$$ принадлежат графику, точка $$ (2;4) $$ принадлежит графику второй части, а для третьей части точка $$ (2;6) $$ не входит в график, так как $$x=2$$ не входит в промежуток $$ (2;4) $$.
в) По графику получаем свойства функции:
- область определения: $$[-3;4)$$;
- наибольшее значение не существует, так как при $$x \to 4-$$ значения функции стремятся к $$10$$, но $$x=4$$ не входит в область определения;
- наименьшее значение: $$0$$, оно достигается при $$x=0$$;
- функция непрерывна на каждом из промежутков $$[-3;-1]$$, $$(-1;2]$$ и $$ (2;4) $$, но прерывается при $$x=2$$;
- $$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x \in [-3;0) \cup (0;4)$$;
- функция убывает при $$x \in [-1;0]$$ и возрастает при $$x \in [0;4)$$.
Ответ
а) $$f(-3)=1,\; f(2)=4,\; f(0)=0,\; f(-1)=1,\; f\left(\frac12\right)=\frac14.$$
б) График состоит из отрезка $$y=1$$ на $$[-3;-1]$$, части параболы $$y=x^2$$ на $$(-1;2]$$ и части прямой $$y=2x+2$$ на $$ (2;4) $$.
в) $$D(f)=[-3;4)$$, $$\min f=0$$, наибольшего значения нет; функция убывает на $$[-1;0]$$ и возрастает на $$[0;4)$$.
