Упр.46.42 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{если } -3\le x\le -1;\\2x+2, & \text{если } -1<x\le 2;\\x, & \text{если } 2<x<4.\end{cases}$$

а) Вычислите $$f(-3),\ f(2),\ f(0),\ f(-1),\ f\left(\frac{1}{2}\right)$$;

б) постройте график функции $$y=f(x)$$;

в) опишите свойства функции $$y=f(x)$$ с помощью построенного графика.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} 1, & -3 \le x \le -1,\\ x^2, & -1 < x \le 2,\\ 2x+2, & 2 < x < 4. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-3)=1,$$
$$f(2)=2^2=4,$$
$$f(0)=0^2=0,$$
$$f(-1)=1,$$
$$f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

б) Построим график по частям:

на отрезке $$[-3;-1]$$ — горизонтальный отрезок $$y=1$$;
на промежутке $$(-1;2]$$ — часть параболы $$y=x^2$$;
на промежутке $$(2;4)$$ — часть прямой $$y=2x+2$$.

Точки $$(-3;1)$$ и $$(-1;1)$$ принадлежат графику, точка $$(2;4)$$ принадлежит графику второй части, а для третьей части точка $$(2;6)$$ не входит в график, так как $$x=2$$ не входит в промежуток $$(2;4)$$.

в) По графику получаем свойства функции:

область определения: $$[-3;4)$$;
наибольшее значение не существует, так как при $$x \to 4-$$ значения функции стремятся к $$10$$, но $$x=4$$ не входит в область определения;
наименьшее значение: $$0$$, оно достигается при $$x=0$$;
функция непрерывна на каждом из промежутков $$[-3;-1]$$, $$(-1;2]$$ и $$(2;4)$$, но прерывается при $$x=2$$;
$$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
$$f(x)>0$$ при $$x \in [-3;0) \cup (0;4)$$;
функция убывает при $$x \in [-1;0]$$ и возрастает при $$x \in [0;4)$$.

Ответ

а) $$f(-3)=1,\; f(2)=4,\; f(0)=0,\; f(-1)=1,\; f\left(\frac12\right)=\frac14.$$
б) График состоит из отрезка $$y=1$$ на $$[-3;-1]$$, части параболы $$y=x^2$$ на $$(-1;2]$$ и части прямой $$y=2x+2$$ на $$(2;4)$$.
в) $$D(f)=[-3;4)$$, $$\min f=0$$, наибольшего значения нет; функция убывает на $$[-1;0]$$ и возрастает на $$[0;4)$$.