Упр.46.41 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}-1, & -3\leq x\leq -1;\\-x^2, & -1<x\leq 1;\\x, & 1<x\leq 6.\end{cases}$$

а) Вычислите $$f(-2),\ f(4),\ f(-1),\ f(1),\ f(5)$$;

б) Постройте график функции $$y=f(x)$$;

в) Опишите свойства функции $$y=f(x)$$ с помощью построенного графика.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -1, & -3 \le x \le -1,\\ -x^2, & -1 < x \le 1,\\ x, & 1 < x \le 6. \end{cases}$$

а) Находим значения функции по тому промежутку, к которому принадлежит каждое число:

$$f(-2)=-1,\quad f(4)=4,\quad f(-1)=-1,\quad f(1)=-1,\quad f(5)=5.$$

б) График состоит из трёх частей:

отрезок прямой $$y=-1$$ при $$-3 \le x \le -1$$;
часть параболы $$y=-x^2$$ при $$-1 < x \le 1$$;
отрезок прямой $$y=x$$ при $$1 < x \le 6$$.

При построении нужно отметить точки $$(-3,-1)$$, $$(-1,-1)$$, $$(1,-1)$$, $$(6,6)$$, а также учесть, что точка $$(-1,-1)$$ входит в первый и второй участки, а точка $$(1,-1)$$ входит только во второй участок, а в третьем участке при $$x=1$$ точка не входит.

в) По графику получаем:

область определения: $$[-3;6]$$;
наименьшее значение: $$-1$$;
наибольшее значение: $$6$$;
функция непрерывна на каждом из промежутков $$[-3;-1]$$, $$(-1;1]$$ и $$(1;6]$$, но имеет разрыв при $$x=1$$;
$$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
$$f(x)>0$$ при $$x \in (1;6]$$;
$$f(x)<0$$ при $$x \in [-3;0) \cup (0;1]$$;
функция возрастает при $$x \in [-1;0] \cup (1;6]$$ и убывает при $$x \in [0;1]$$.

Ответ

а) $$f(-2)=-1,\ f(4)=4,\ f(-1)=-1,\ f(1)=-1,\ f(5)=5.$$
б) График состоит из отрезка $$y=-1$$ на $$[-3;-1]$$, части параболы $$y=-x^2$$ на $$(-1;1]$$ и отрезка $$y=x$$ на $$(1;6]$$.
в) $$D(f)=[-3;6]$$, $$y_{\min}=-1$$, $$y_{\max}=6$$, разрыв при $$x=1$$.