Упр.46.41 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)
f(x) = система
-1, если -3 < = х < = -1;
-x2, если -1 < х < = 1;
x, если 1 < x < =6.
а) Вычислите f(-2), f(4), f(-1), f(1), f(5);
б) постройте график функции у = f(x);
в) опишите свойства функции у = f(x) с помощью построенного графика.
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} -1, & -3 \le x \le -1,\\ -x^2, & -1 < x \le 1,\\ x, & 1 < x \le 6. \end{cases} $$
а) Находим значения функции по тому промежутку, к которому принадлежит каждое число:
$$ f(-2)=-1,\quad f(4)=4,\quad f(-1)=-1,\quad f(1)=-1,\quad f(5)=5. $$
б) График состоит из трёх частей:
- отрезок прямой $$y=-1$$ при $$-3 \le x \le -1$$;
- часть параболы $$y=-x^2$$ при $$-1 < x \le 1$$;
- отрезок прямой $$y=x$$ при $$1 < x \le 6$$.
При построении нужно отметить точки $$(-3,-1)$$, $$(-1,-1)$$, $$ (1,-1)$$, $$ (6,6)$$, а также учесть, что точка $$(-1,-1)$$ входит в первый и второй участки, а точка $$ (1,-1)$$ входит только во второй участок, а в третьем участке при $$x=1$$ точка не входит.
в) По графику получаем:
- область определения: $$[-3;6]$$;
- наименьшее значение: $$-1$$;
- наибольшее значение: $$6$$;
- функция непрерывна на каждом из промежутков $$[-3;-1]$$, $$(-1;1]$$ и $$ (1;6]$$, но имеет разрыв при $$x=1$$;
- $$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x \in (1;6]$$;
- $$f(x)<0$$ при $$x \in [-3;0) \cup (0;1]$$;
- функция возрастает при $$x \in [-1;0] \cup (1;6]$$ и убывает при $$x \in [0;1]$$.
Ответ
а) $$f(-2)=-1,\ f(4)=4,\ f(-1)=-1,\ f(1)=-1,\ f(5)=5.$$
б) График состоит из отрезка $$y=-1$$ на $$[-3;-1]$$, части параболы $$y=-x^2$$ на $$(-1;1]$$ и отрезка $$y=x$$ на $$ (1;6]$$.
в) $$D(f)=[-3;6]$$, $$y_{\min}=-1$$, $$y_{\max}=6$$, разрыв при $$x=1$$.
