Упр.46.21 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

а) область определения;
б) наименьшее и наибольшее значения;
в) промежутки убывания и возрастания;
г) точки разрыва.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} x+3, & -3 \le x \le -1,\\ x^2, & -1 < x \le 2. \end{cases} $$

Найдём характеристики функции по каждому участку.

а) Область определения. Первый участок задан при $$-3 \le x \le -1$$, второй — при $$-1 < x \le 2$$. Значит, область определения:

$$D(y)=[-3;2].$$

б) Наименьшее и наибольшее значения.

На отрезке $$[-3;-1]$$ функция $$y=x+3$$ возрастает, поэтому:

$$y(-3)=0,\quad y(-1)=2.$$

На промежутке $$(-1;2]$$ функция $$y=x^2$$ имеет минимум в точке $$x=0$$:

$$y(0)=0,$$

а наибольшее значение на этом участке достигается при $$x=2$$:

$$y(2)=4.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=4.$$

в) Промежутки убывания и возрастания.

Функция $$y=x+3$$ возрастает на $$[-3;-1]$$.

Функция $$y=x^2$$ убывает на $$(-1;0]$$ и возрастает на $$[0;2]$$.

Значит, функция:

возрастает при $$x \in [-3;-1]$$ и $$x \in [0;2]$$;

убывает при $$x \in (-1;0].$$

г) Точка разрыва.

При $$x=-1$$ левая и правая части функции не совпадают:

$$ \lim_{x\to -1-}(x+3)=2,\qquad \lim_{x\to -1+}x^2=1. $$

Следовательно, в точке $$x=-1$$ есть разрыв.

Ответ

а) $$[-3;2]$$; б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=4$$; в) возрастает на $$[-3;-1]$$ и $$[0;2]$$, убывает на $$(-1;0]$$; г) $$x=-1$$.