Упр.42.8 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Установите, является ли данное равенство тождеством, и если да, то укажите допустимые значения переменных.
а) $$\frac{a^4-4a^2}{a^2-2a}=a^2+2a$$;
б) $$\frac{a^3+b^3}{a+b}-ab=(a-b)^2$$;
в) $$\frac{x^2+7x+12}{x+3}+x(x+3)=(x+2)^2$$;
г) $$\frac{3b^5-24b^2}{6b^5-12b^4}=\frac{b^2+2b+4}{2b^2}$$;
д) $$\frac{n^3-8}{n-2}+2n=(n+2)^2$$;
е) $$\frac{n^2+11n+18}{n+2}+n(n+5)=(n+3)^2$$. - К набору чисел $$1, 1, \ldots, 1, 2, \ldots, 2$$ приписывают $$n$$ чисел, равных $$3$$. Найдите медиану полученного ряда при:
а) $$n=1$$;
в) $$n=5$$;
д) $$n=10$$;
б) $$n=2$$;
г) $$n=9$$;
е) $$n=30$$.
а)
$$\frac{a^4-4a^2}{a^2-2a}=\frac{a^2(a^2-4)}{a(a-2)}=\frac{a^2(a-2)(a+2)}{a(a-2)}=a(a+2)=a^2+2a.$$
Значит, равенство является тождеством при $$a\ne 0$$ и $$a\ne 2.$$б)
$$\frac{a^3+b^3}{a+b}-ab=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b}-ab=a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$$
Это тождество при $$a+b\ne 0,$$ то есть $$a\ne -b.$$в)
$$\frac{x^2+7x+12}{x+3}+x(x+3)=\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}+x(x+3)=x+4+x^2+3x=x^2+4x+4=(x+2)^2.$$
Это тождество при $$x\ne -3.$$г)
$$\frac{3b^5-24b^2}{6b^5-12b^4}=\frac{3b^2(b^3-8)}{6b^4(b-2)}=\frac{3b^2(b-2)(b^2+2b+4)}{6b^4(b-2)}=\frac{b^2+2b+4}{2b^2}.$$
Это тождество при $$6b^5-12b^4\ne 0,$$ то есть при $$b\ne 0$$ и $$b\ne 2.$$д)
$$\frac{n^3-8}{n-2}+2n=\frac{(n-2)(n^2+2n+4)}{n-2}+2n=n^2+2n+4+2n=n^2+4n+4=(n+2)^2.$$
Это тождество при $$n\ne 2.$$е)
$$\frac{n^2+11n+18}{n+2}+n(n+5)=\frac{(n+2)(n+9)}{n+2}+n(n+5)=n+9+n^2+5n=n^2+6n+9=(n+3)^2.$$
Это тождество при $$n\ne -2.$$
Медиана ряда из $$20$$ единиц, $$10$$ двоек и $$n$$ троек зависит от общего числа элементов.
а) $$n=1$$. Всего $$31$$ число, медиана — $$16$$-й элемент, это $$1$$.
б) $$n=2$$. Всего $$32$$ числа, медиана равна $$\frac{1+1}{2}=1$$.
в) $$n=5$$. Всего $$35$$ чисел, медиана — $$18$$-й элемент, это $$1$$.
г) $$n=9$$. Всего $$39$$ чисел, медиана — $$20$$-й элемент, это $$1$$.
д) $$n=10$$. Всего $$40$$ чисел, медиана равна $$\frac{1+2}{2}=1{,}5$$.
е) $$n=30$$. Всего $$60$$ чисел, медиана равна $$\frac{2+3}{2}=2{,}5$$.
Ответ
а) тождество при $$a\ne 0,\ a\ne 2$$; б) тождество при $$a\ne -b$$; в) тождество при $$x\ne -3$$; г) тождество при $$b\ne 0,\ b\ne 2$$; д) тождество при $$n\ne 2$$; е) тождество при $$n\ne -2$$.
Медиана: а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$; д) $$1{,}5$$; е) $$2{,}5$$.
