Упр.42.7 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) (х — у)^2 + (х + у)^2 = 2(х^2 + у^2);
б) (m + n)^2 — (m — n)^2 = 4mn;
в) (3а + b)^2 — (3а — b)^2 = (3аb + 1)^2 — (3ab — 1)^2;
г) (n + k)^2 — 2k(n + k) = n^2 — k^2;
д) х^2 + у^2 = (х + у)^2 — 2ху;
е) (p — q)(p + q)((p — q)^2 + (p + q)^2) = 2(р^4 — q^4). Приведите пример набора чисел:
а) объёмом 7;
б) объёмом 7 и размахом 7;
в) объёмом 7, размахом 7 и модой 7;
г) объёмом 7, размахом 7, модой 7 и медианой 7.

1. а)

   $$ (x-y)^2+(x+y)^2=x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2=2x^2+2y^2=2(x^2+y^2) $$

2. б)

   $$ (m+n)^2-(m-n)^2=m^2+2mn+n^2-(m^2-2mn+n^2)=4mn $$

3. в)

   $$ (3a+b)^2-(3a-b)^2=9a^2+6ab+b^2-(9a^2-6ab+b^2)=12ab $$

   $$ (3ab+1)^2-(3ab-1)^2=9a^2b^2+6ab+1-(9a^2b^2-6ab+1)=12ab $$

   Значит,
   $$ (3a+b)^2-(3a-b)^2=(3ab+1)^2-(3ab-1)^2. $$

4. г)

   $$ (n+k)^2-2k(n+k)=n^2+2nk+k^2-2nk-2k^2=n^2-k^2 $$

5. д)

   $$ (x+y)^2-2xy=x^2+2xy+y^2-2xy=x^2+y^2 $$

6. е)

   $$ (p-q)(p+q)\bigl((p-q)^2+(p+q)^2\bigr) $$
   $$ =(p^2-q^2)\bigl(p^2-2pq+q^2+p^2+2pq+q^2\bigr) $$
   $$ =(p^2-q^2)(2p^2+2q^2)=2(p^2-q^2)(p^2+q^2)=2(p^4-q^4) $$

Примеры наборов чисел:

1. объёмом 7: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
2. объёмом 7 и размахом 7: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8;
3. объёмом 7, размахом 7 и модой 7: 3, 7, 7, 7, 7, 7, 4;
4. объёмом 7, размахом 7, модой 7 и медианой 7: 2, 7, 7, 7, 7, 7, 5.

Ответ

а) тождество верно;
б) тождество верно;
в) тождество верно;
г) тождество верно;
д) тождество верно;
е) тождество верно.
Примеры наборов чисел приведены выше.