Упр.42.4 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Докажите тождество: а) $$a-b=-(b-a)$$; б) $$(a-b)^2=(b-a)^2$$; в) $$(a-b)(a-b)+2ab=a^2+b^2$$; г) $$2x-5y=-(5y-2x)$$; д) $$(x+y)(x+y)-2xy=x^2+y^2$$; е) $$(x+y)^2=(-x-y)^2$$.
- Какие из утверждений «а» — «е» верны, а какие — нет? а) Объём ряда — всегда целое число. б) Объём ряда может оказаться равным нулю. в) Размах не может быть меньше нуля. г) Размах может быть равен нулю. д) Мода ряда — это всегда число. е) Медиана ряда всегда является одним из данных ряда.
а) $$a-b=-(b-a)$$
Раскроем скобки справа:
$$-(b-a)=-b+a=a-b$$
Тождество верно.
б) $$\left(a-b\right)^2=\left(b-a\right)^2$$
Раскроем квадраты двучленов:
$$a^2-2ab+b^2=b^2-2ab+a^2$$
Левая и правая части равны, значит тождество верно.
в) $$\left(a-b\right)\left(a-b\right)+2ab=a^2+b^2$$
Так как $$\left(a-b\right)\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^2$$, получаем:
$$\left(a-b\right)^2+2ab=a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2$$
Тождество верно.
г) $$2x-5y=-(5y-2x)$$
Раскроем скобки справа:
$$-(5y-2x)=-5y+2x=2x-5y$$
Тождество верно.
д) $$\left(x+y\right)\left(x+y\right)-2xy=x^2+y^2$$
Раскроем скобки:
$$\left(x+y\right)^2-2xy=x^2+2xy+y^2-2xy=x^2+y^2$$
Тождество верно.
е) $$\left(x+y\right)^2=\left(-x-y\right)^2$$
Так как $$-x-y=-(x+y)$$, то
$$\left(-x-y\right)^2=\left(-(x+y)\right)^2=\left(x+y\right)^2$$
Тождество верно.
Теперь проверим утверждения о статистических характеристиках.
а) Объём ряда — всегда целое число. Верно.
б) Объём ряда может оказаться равным нулю. Неверно, так как объём ряда — это число данных, а оно не может быть нулевым.
в) Размах не может быть меньше нуля. Верно, так как размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
г) Размах может быть равен нулю. Верно, если все данные ряда одинаковы.
д) Мода ряда — это всегда число. Неверно, так как у ряда может не быть моды.
е) Медиана ряда всегда является одним из данных ряда. Неверно: при чётном числе данных медиана может не совпадать ни с одним из них.
Ответ
Тождества а)–е) верны.
Верные утверждения: а), в), г). Неверные: б), д), е).
