Упр.42.10 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что тождественно равно нулю выражение:
а) $$\left(b+c-2a\right)\left(c-b\right)+\left(c+a-2b\right)\left(a-c\right)-\left(a+b-2c\right)\left(a-b\right);$$
б) $$\left((a+b-c)(2a-b)-b^2\right)+\left((a+c-b)(2c-a)-a^2\right)+\left((b+c-a)(2b-c)-c^2\right).$$ - Все числа набора $$-3,\ldots,-3,-2,\ldots,-2,0,\ldots,0,2,\ldots,2,4,4$$ возвели в квадрат. Для нового набора чисел найдите:
а) упорядоченный ряд;
б) объём;
в) размах;
г) моду;
д) медиану;
е) среднее.
а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$(b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b)=$$
$$=(bc-b^2+c^2-bc-2ac+2ab)+(ac-c^2+a^2-ac-2ab+2bc)$$
$$-(a^2-ab+ab-b^2-2ac+2bc)$$
$$=(c^2-b^2-2ac+2ab)+(a^2-c^2-2ab+2bc)-(a^2-b^2-2ac+2bc)=0.$$
Значит, выражение тождественно равно нулю.
б) Аналогично раскроем скобки:
$$((a+b-c)(2a-b)-b^2)+((a+c-b)(2c-a)-a^2)+((b+c-a)(2b-c)-c^2)=$$
$$=(2a^2-ab+2ab-b^2-2ac+bc-b^2)$$
$$+(2ac-a^2+2c^2-ac-2bc+ab-a^2)$$
$$+(2b^2-bc+2bc-c^2-2ab+ac-c^2)$$
$$=(2a^2-2a^2)+(2b^2-2b^2)+(2c^2-2c^2)$$
$$+(-ab+2ab+ab-2ab)+(-2ac+ac+ac)+ (bc-2bc+bc)=0.$$
Следовательно, и это выражение тождественно равно нулю.
в) После возведения всех чисел в квадрат получаем набор:
$$9,\dots,9,\;4,\dots,4,\;0,\dots,0,\;4,\dots,4,\;16,16.$$
Упорядоченный ряд:
$$0,\dots,0,\;4,\dots,4,\;9,\dots,9,\;16,16.$$
Чисел всего:
$$4+5+6+7+2=24.$$
Объём равен $$24$$.
Размах:
$$16-0=16.$$
Мода равна $$4$$.
Медиана — среднее арифметическое 12-го и 13-го элементов упорядоченного ряда. Оба они равны $$4$$, значит:
$$\frac{4+4}{2}=4.$$
Среднее значение:
$$\frac{0\cdot 6+4\cdot 12+9\cdot 4+16\cdot 2}{24} = \frac{0+48+36+32}{24} = \frac{116}{24} = \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6}.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$0$$; в) упорядоченный ряд: $$0,\dots,0,4,\dots,4,9,\dots,9,16,16$$, объём $$24$$, размах $$16$$, мода $$4$$, медиана $$4$$, среднее $$\frac{29}{6}$$.
