Упр.41.36 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова 7 класс, Мнемозина: Сократите дробь: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 mordkovich7 41-36 715

1. $$\frac{x^{3n}-x^ny^{2n}}{3x^{3n}+6x^{2n}y^n+3x^ny^{2n}}= \frac{x^n(x^{2n}-y^{2n})}{3x^n(x^{2n}+2x^ny^n+y^{2n})}= \frac{(x^n-y^n)(x^n+y^n)}{3(x^n+y^n)^2}= \frac{x^n-y^n}{3(x^n+y^n)}.$$
2. $$\frac{a^{3n-1}b^{n+1}-4a^{n-1}b^{n+1}}{4a^nb^{n-1}-4a^{2n}b^{n-1}+a^{3n}b^{n-1}}= \frac{a^{n-1}b^{n+1}(a^{2n}-4)}{a^nb^{n-1}(4-4a^n+a^{2n})}.$$
   Так как
   $$a^{2n}-4=(a^n-2)(a^n+2), \qquad 4-4a^n+a^{2n}=(a^n-2)^2,$$
   то
   $$\frac{a^{n-1}b^{n+1}(a^n-2)(a^n+2)}{a^nb^{n-1}(a^n-2)^2} =\frac{b^2(a^n+2)}{a(a^n-2)}.$$
3. $$\frac{2a^{n+1}-4a^{2n+1}+2a^{3n+1}}{4a^{3n}-4a^n} =\frac{2a^{n+1}(1-2a^n+a^{2n})}{4a^n(a^{2n}-1)}.$$
   Используем формулы:
   $$1-2a^n+a^{2n}=(a^n-1)^2, \qquad a^{2n}-1=(a^n-1)(a^n+1).$$
   Тогда
   $$\frac{2a^{n+1}(a^n-1)^2}{4a^n(a^n-1)(a^n+1)} =\frac{a(a^n-1)}{2(a^n+1)}.$$
4. $$\frac{54xy^{3n}z^n-72x^{n+1}y^{2n}z^n+24x^{2n+1}y^nz^n}{12x^{2n+2}y^{n-1}z^{n+1}-27x^2y^{3n-1}z^{n+1}}$$
   $$=\frac{6xyz^n(9y^{2n}-12x^ny^n+4x^{2n})}{3x^2y^{n-1}z^{n+1}(4x^{2n}-9y^{2n})}.$$
   Далее
   $$9y^{2n}-12x^ny^n+4x^{2n}=(3y^n-2x^n)^2,$$
   $$4x^{2n}-9y^{2n}=(2x^n-3y^n)(2x^n+3y^n).$$
   Поэтому
   $$\frac{6xyz^n(3y^n-2x^n)^2}{3x^2y^{n-1}z^{n+1}(2x^n-3y^n)(2x^n+3y^n)} =\frac{2y(2x^n-3y^n)}{xz(2x^n+3y^n)}.$$

Ответ

а) $$\frac{x^n-y^n}{3(x^n+y^n)}$$;
б) $$\frac{b^2(a^n+2)}{a(a^n-2)}$$;
в) $$\frac{a(a^n-1)}{2(a^n+1)}$$;
г) $$\frac{2y(2x^n-3y^n)}{xz(2x^n+3y^n)}$$.