Упр.41.22 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
а) Два ученика задумали по двузначному числу, сумма которых равна $$100$$. Первый увеличил своё число в два раза и прибавил к нему $$5$$, а второй увеличил своё число в три раза и вычел из него $$20$$. Интересно, что у ребят получились одинаковые результаты. Какие числа они задумали?
б) Сумма цифр двузначного числа равна $$11$$. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на $$45$$ больше исходного. Найдите эти числа.
а) Пусть первый ученик задумал число $$x,$$ а второй — $$y.$$ Тогда по условию
$$x+y=100,$$
а после преобразований получили одинаковые результаты:
$$2x+5=3y-20.$$
Составим систему:
$$\begin{cases} x+y=100,\\ 2x-3y=-25. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$\begin{cases} 3x+3y=300,\\ 2x-3y=-25. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$5x=275,$$
$$x=55.$$
Тогда
$$y=100-55=45.$$
Значит, ученики задумали числа $$55$$ и $$45.$$
б) Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц. Тогда
$$a+b=11.$$
После перестановки цифр получится число $$10b+a,$$ которое на $$45$$ больше исходного:
$$10b+a-(10a+b)=45.$$
Упростим:
$$9b-9a=45,$$
$$b-a=5.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} a+b=11,\\ b-a=5. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2b=16,$$
$$b=8.$$
Тогда
$$a=11-8=3.$$
Искомые числа: $$38$$ и $$83.$$
Ответ
а) $$55$$ и $$45$$; б) $$38$$ и $$83$$.
