Упр.41.22 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) Два ученика задумали по двузначному числу, сумма которых равна 100. Первый увеличил своё число в два раза и прибавил к нему 5, а второй увеличил своё число в три раза и вычел из него 20. Интересно, что у ребят получились одинаковые результаты. Какие числа они задумали?
б) Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 45 больше исходного. Найдите эти числа.

а) Пусть первый ученик задумал число $$x,$$ а второй — $$y.$$ Тогда по условию

$$x+y=100,$$

а после преобразований получили одинаковые результаты:

$$2x+5=3y-20.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} x+y=100,\\ 2x-3y=-25. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$ \begin{cases} 3x+3y=300,\\ 2x-3y=-25. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$5x=275,$$

$$x=55.$$

Тогда

$$y=100-55=45.$$

Значит, ученики задумали числа $$55$$ и $$45.$$

б) Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц. Тогда

$$a+b=11.$$

После перестановки цифр получится число $$10b+a,$$ которое на $$45$$ больше исходного:

$$10b+a-(10a+b)=45.$$

Упростим:

$$9b-9a=45,$$

$$b-a=5.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=11,\\ b-a=5. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$2b=16,$$

$$b=8.$$

Тогда

$$a=11-8=3.$$

Искомые числа: $$38$$ и $$83.$$

Ответ

а) $$55$$ и $$45$$; б) $$38$$ и $$83$$.