Упр.41.19 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 7 класс, Бином: Найдите все значения параметра p, при которых уравнение (x^2 — 9)/(x — 3) = p(p + 2)x + p^2 — 4 имеет решение.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\frac{x^2-9}{x-3}=p(p+2)x+p^2-4.$$

Так как $$x^2-9=(x-3)(x+3),$$ то при $$x\ne 3$$ получаем

$$x+3=p(p+2)x+p^2-4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x-p(p+2)x=p^2-7,$$

$$x\bigl(1-p(p+2)\bigr)=p^2-7,$$

$$x\,(1-p^2-2p)=p^2-7.$$

Уравнение имеет решение, если можно найти $$x\ne 3$$.

1) Если $$1-p^2-2p\ne 0,$$ то

$$x=\frac{p^2-7}{1-p^2-2p}.$$

Нужно, чтобы это значение не было равно $$3$$:

$$\frac{p^2-7}{1-p^2-2p}\ne 3.$$

Решим уравнение, при котором получилось бы $$x=3$$:

$$p^2-7=3(1-p^2-2p),$$

$$4p^2+6p-10=0,$$

$$2p^2+3p-5=0,$$

$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 5=49,$$

$$p_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac52,\qquad p_2=\frac{-3+7}{4}=1.$$

Значит, при этих значениях параметра решение даёт $$x=3,$$ а это недопустимо.

2) Если $$1-p^2-2p=0,$$ то

$$p^2+2p-1=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8,$$

$$p=\frac{-2\pm\sqrt8}{2}=-1\pm\sqrt2.$$

В этом случае левая часть уравнения обращается в ноль, а правая равна $$p^2-7,$$ поэтому решение существует только при найденных значениях параметра, кроме уже исключённых выше.

Итак, уравнение имеет решение при всех значениях $$p,$$ кроме

$$p=-\frac52,\quad p=1,\quad p=-1+\sqrt2,\quad p=-1-\sqrt2.$$