Упр.40.18 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

б) При каких значениях параметра р пара чисел (1; 13) является решением уравнения р^2 х + ру + 42 = 0?
Андрей и Сергей могут вскопать огород за 9 ч, Сергей и Матвей — за 12 ч, а Матвей и Андрей — за 18 ч. Сколько времени потребуется, чтобы вскопать этот огород, если Андрей, Сергей и Матвей будут работать втроём?

Подробный ответ

а) Подставим в уравнение $$p^2x+py-72=0$$ пару $$\left(1;-1\right)$$:
$$p^2\cdot 1+p\cdot(-1)-72=0$$
$$p^2-p-72=0$$
Разложим на множители:
$$p^2-p-72=p^2-9p+8p-72=p(p-9)+8(p-9)=(p-9)(p+8)=0$$
Отсюда:
$$p-9=0 \quad \text{или} \quad p+8=0$$
$$p=9 \quad \text{или} \quad p=-8$$
б) Подставим в уравнение $$p^2x+py+42=0$$ пару $$\left(1;13\right)$$:
$$p^2\cdot 1+p\cdot 13+42=0$$
$$p^2+13p+42=0$$
Разложим на множители:
$$p^2+13p+42=p^2+7p+6p+42=p(p+7)+6(p+7)=(p+7)(p+6)=0$$
Следовательно:
$$p+7=0 \quad \text{или} \quad p+6=0$$
$$p=-7 \quad \text{или} \quad p=-6$$
Пусть Андрей, Сергей и Матвей выполняют работу за $$x$$, $$y$$ и $$z$$ часов соответственно. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$, $$\frac{1}{y}$$ и $$\frac{1}{z}$$.
По условию:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{9}, \qquad \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{12}, \qquad \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{18}$$
Обозначим:
$$a=\frac{1}{x}, \quad b=\frac{1}{y}, \quad c=\frac{1}{z}$$
Тогда система примет вид:
$$a+b=\frac{1}{9}, \qquad b+c=\frac{1}{12}, \qquad a+c=\frac{1}{18}$$
Сложим первые два уравнения и вычтем третье:
$$2b=\frac{1}{9}+\frac{1}{12}-\frac{1}{18}$$
$$2b=\frac{4}{36}+\frac{3}{36}-\frac{2}{36}=\frac{5}{36}$$
$$b=\frac{5}{72}$$
Тогда:
$$a=\frac{1}{9}-\frac{5}{72}=\frac{8}{72}-\frac{5}{72}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}$$
$$c=\frac{1}{12}-\frac{5}{72}=\frac{6}{72}-\frac{5}{72}=\frac{1}{72}$$
Скорость совместной работы:
$$a+b+c=\frac{1}{24}+\frac{5}{72}+\frac{1}{72}=\frac{3}{72}+\frac{5}{72}+\frac{1}{72}=\frac{9}{72}=\frac{1}{8}$$
Значит, вместе они вскопают огород за $$8$$ часов.