Дополнительная задача 4 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) m = -9; М = -1 и 0 < а < b; б) m = -16; М = -9 и a < b < 0; в) m = -81; М = -2,25 и 0 < а < b; г) m = -121; М = 0 и a < b ? 0; д) m = -4^6; М = -3^6 и 0 < а < b; е) m = -10^10; М = -8^8 и a < b < 0. Подберите одночлены А и В с натуральными коэффициентами, если выполняется условие: а) А · В^5 = 16Ох^11 y^6; г) А^3 · В^2 = -27а^3 b^4 с^2; б) А^4 · В = 405а^6 b^7; д) А^3 · В^4 = 8d^4 m^13 n^3; в) А^3 · В^2 = 4x3y2z5; е) А^2 · B^5 = 81b^13 c^5 d^4.

1. Рассмотрим функцию $$y=-x^2$$ на отрезке $$[a;b]$$.

   Если $$x>0$$, то функция убывает; если $$x<0$$, то возрастает. Поэтому на указанном отрезке наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка.

   а) $$m=-9,\ M=-1,\ 0<a<b.$$

   Тогда $$m=f(b),\ M=f(a)$$:

   $$ -b^2=-9 \Rightarrow b^2=9 \Rightarrow b=3, $$
   $$ -a^2=-1 \Rightarrow a^2=1 \Rightarrow a=1. $$

   $$a=1,\ b=3.$$

   б) $$m=-16,\ M=-9,\ a<b<0.$$

   При $$x<0$$ функция возрастает, значит $$m=f(a),\ M=f(b)$$:

   $$ -a^2=-16 \Rightarrow a^2=16 \Rightarrow a=-4, $$
   $$ -b^2=-9 \Rightarrow b^2=9 \Rightarrow b=-3. $$

   $$a=-4,\ b=-3.$$

   в) $$m=-81,\ M=-2{,}25,\ 0<a<b.$$

   Тогда $$m=f(b),\ M=f(a)$$:

   $$ -b^2=-81 \Rightarrow b^2=81 \Rightarrow b=9, $$
   $$ -a^2=-2{,}25 \Rightarrow a^2=2{,}25 \Rightarrow a=1{,}5. $$

   $$a=1{,}5,\ b=9.$$

   г) $$m=-121,\ M=0,\ a<b\le 0.$$

   При $$x<0$$ функция возрастает, значит $$m=f(a),\ M=f(b)$$:

   $$ -a^2=-121 \Rightarrow a^2=121 \Rightarrow a=-11, $$
   $$ -b^2=0 \Rightarrow b^2=0 \Rightarrow b=0. $$

   $$a=-11,\ b=0.$$

   д) $$m=-4^6,\ M=-3^6,\ 0<a<b.$$

   Тогда $$m=f(b),\ M=f(a)$$:

   $$ -b^2=-4^6 \Rightarrow b^2=4^6=(4^3)^2 \Rightarrow b=4^3=64, $$
   $$ -a^2=-3^6 \Rightarrow a^2=3^6=(3^3)^2 \Rightarrow a=3^3=27. $$

   $$a=27,\ b=64.$$

   е) $$m=-10^{10},\ M=-8^8,\ a<b<0.$$

   При $$x<0$$ функция возрастает, значит $$m=f(a),\ M=f(b)$$:

   $$ -a^2=-10^{10} \Rightarrow a^2=10^{10}=(10^5)^2 \Rightarrow a=-10^5, $$
   $$ -b^2=-8^8 \Rightarrow b^2=8^8=(8^4)^2 \Rightarrow b=-8^4. $$

   $$a=-10^5,\ b=-8^4.$$

2. Подберём одночлены $$A$$ и $$B$$.

   а) $$A\cdot B^5=160x^{11}y^6.$$

   $$ B^5=(2xy)^5=32x^5y^5 \Rightarrow B=2xy, $$
   $$ A=\frac{160x^{11}y^6}{32x^5y^5}=5x^6y. $$

   $$A=5x^6y,\quad B=2xy.$$

   б) $$A^4\cdot B=405a^6b^7.$$

   $$ A^4=(3ab)^4=81a^4b^4 \Rightarrow A=3ab, $$
   $$ B=\frac{405a^6b^7}{81a^4b^4}=5a^2b^3. $$

   $$A=3ab,\quad B=5a^2b^3.$$

   в) $$A^3\cdot B^2=4x^3y^2z^5.$$

   $$ A^3=(xz)^3=x^3z^3 \Rightarrow A=xz, $$
   $$ B^2=(2yz)^2=4y^2z^2 \Rightarrow B=2yz. $$

   $$A=xz,\quad B=2yz.$$

   г) $$A^3\cdot B^2=-27a^3b^4c^2.$$

   $$ A^3=(-3a)^3=-27a^3 \Rightarrow A=-3a, $$
   $$ B^2=(b^2c)^2=b^4c^2 \Rightarrow B=b^2c. $$

   $$A=-3a,\quad B=b^2c.$$

   д) $$A^3\cdot B^4=8d^4m^{13}n^3.$$

   $$ A^3=(2m^3n)^3=8m^9n^3 \Rightarrow A=2m^3n, $$
   $$ B^4=(dm)^4=d^4m^4 \Rightarrow B=dm. $$

   $$A=2m^3n,\quad B=dm.$$

   е) $$A^2\cdot B^5=81b^{13}c^5d^4.$$

   $$ A^2=(9b^6d^2)^2=81b^{12}d^4 \Rightarrow A=9b^6d^2, $$
   $$ B^5=(bc)^5=b^5c^5 \Rightarrow B=bc. $$

   $$A=9b^6d^2,\quad B=bc.$$

Ответ

1) а) $$a=1,\ b=3$$; б) $$a=-4,\ b=-3$$; в) $$a=1{,}5,\ b=9$$; г) $$a=-11,\ b=0$$; д) $$a=27,\ b=64$$; е) $$a=-10^5,\ b=-8^4$$.
2) а) $$A=5x^6y,\ B=2xy$$; б) $$A=3ab,\ B=5a^2b^3$$; в) $$A=xz,\ B=2yz$$; г) $$A=-3a,\ B=b^2c$$; д) $$A=2m^3n,\ B=dm$$; е) $$A=9b^6d^2,\ B=bc$$.