Дополнительная задача 4 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1) Сколько всего может получиться упорядоченных рядов?
2) В скольких из них:
а) число 2 встретится менее 10 раз;
б) число 5 встретится не менее 15 раз;
в) число 2 встретится чаще числа 5;
г) частота числа 2 превысит 70 %;
д) частота числа 5 не превысит 15 %?
Дана функция у = h(х), где h(х) = -х^2. Найдите а и b, если известны наименьшее значение m и наибольшее значение М этой функции на отрезке [а; b]:
а) m = -9; М = -1 и 0 < а < b; б) m = -16; М = -9 и a < b < 0; в) m = -81; М = -2,25 и 0 < а < b; г) m = -121; М = 0 и a < b ? 0; д) m = -4^6; М = -3^6 и 0 < а < b; е) m = -10^10; М = -8^8 и a < b < 0.

1. Из 25 данных каждое равно либо 2, либо 5. Упорядоченный ряд однозначно задаётся числом двоек: оно может быть от 1 до 24, так как ряд не должен состоять из одинаковых данных.
   Значит, всего возможно $$24$$ упорядоченных ряда.

2. Пусть число 2 встречается $$x$$ раз. Тогда число 5 встречается $$25-x$$ раз.

   а) $$x<10$$, то есть $$x=1,2,\dots,9$$. Таких рядов $$9$$.

   б) $$25-x\ge 15$$, значит $$x\le 10$$. Тогда $$x=1,2,\dots,10$$. Таких рядов $$10$$.

   в) число 2 встречается чаще числа 5:

   $$x>25-x$$

   $$2x>25$$

   $$x>12{,}5$$

   Значит, $$x=13,14,\dots,24$$. Таких рядов $$12$$.

   г) частота числа 2 превышает $$70\%$$:

   $$\frac{x}{25}\cdot 100\%>70\%$$

   $$x>17{,}5$$

   Значит, $$x=18,19,\dots,24$$. Таких рядов $$7$$.

   д) частота числа 5 не превышает $$15\%$$:

   $$\frac{25-x}{25}\cdot 100\%\le 15\%$$

   $$25-x\le 3{,}75$$

   $$25-x\le 3$$

   $$x\ge 22$$

   Значит, $$x=22,23,24$$. Таких рядов $$3$$.

3. Функция $$y=-x^2$$ на положительных промежутках убывает, а на отрицательных — возрастает. Поэтому:

   • при $$0<a<b$$ наименьшее значение достигается в точке $$b$$, наибольшее — в точке $$a$$;
   • при $$a<b<0$$ наименьшее значение достигается в точке $$a$$, наибольшее — в точке $$b$$;
   • при $$a<b\le 0$$ наименьшее значение достигается в точке $$a$$, наибольшее — в точке $$b$$.

   а) $$m=-9,\ M=-1,\ 0<a<b$$

   $$-b^2=-9 \Rightarrow b=3$$

   $$-a^2=-1 \Rightarrow a=1$$

   $$a=1,\ b=3$$

   б) $$m=-16,\ M=-9,\ a<b<0$$

   $$-a^2=-16 \Rightarrow a=-4$$

   $$-b^2=-9 \Rightarrow b=-3$$

   $$a=-4,\ b=-3$$

   в) $$m=-81,\ M=-2{,}25,\ 0<a<b$$

   $$-b^2=-81 \Rightarrow b=9$$

   $$-a^2=-2{,}25 \Rightarrow a=1{,}5$$

   $$a=1{,}5,\ b=9$$

   г) $$m=-121,\ M=0,\ a<b\le 0$$

   $$-a^2=-121 \Rightarrow a=-11$$

   $$-b^2=0 \Rightarrow b=0$$

   $$a=-11,\ b=0$$

   д) $$m=-4^6,\ M=-3^6,\ 0<a<b$$

   $$-b^2=-4^6 \Rightarrow b=4^3=64$$

   $$-a^2=-3^6 \Rightarrow a=3^3=27$$

   $$a=27,\ b=64$$

   е) $$m=-10^{10},\ M=-8^8,\ a<b<0$$

   $$-a^2=-10^{10} \Rightarrow a=-10^5$$

   $$-b^2=-8^8 \Rightarrow b=-8^4$$

   $$a=-10^5,\ b=-8^4$$

Ответ

1) $$24$$.

2) а) $$9$$; б) $$10$$; в) $$12$$; г) $$7$$; д) $$3$$.

3) а) $$a=1,\ b=3$$; б) $$a=-4,\ b=-3$$; в) $$a=1{,}5,\ b=9$$; г) $$a=-11,\ b=0$$; д) $$a=27,\ b=64$$; е) $$a=-10^5,\ b=-8^4$$.