Дополнительная задача 4 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года.
Дана функция $$y=h(x)$$, где $$h(x)=-x^2$$. Найдите $$a$$ и $$b$$, если известны наименьшее значение $$m$$ и наибольшее значение $$M$$ этой функции на отрезке $$[a;b]$$:
а) $$m=-9$$; $$M=-1$$ и $$0<a<b$$;
б) $$m=-16$$; $$M=-9$$ и $$a<b<0$$;
в) $$m=-81$$; $$M=-2{,}25$$ и $$0<a<b$$;
г) $$m=-121$$; $$M=0$$ и $$a<b\leq 0$$;
д) $$m=-4^6$$; $$M=-3^6$$ и $$0<a<b$$;
е) $$m=-10^{10}$$; $$M=-8^8$$ и $$a<b<0$$.
Задание учебника 2019 года.
Подберите одночлены $$A$$ и $$B$$ с натуральными коэффициентами, если выполняется условие:
а) $$A\cdot B^5=160x^{11}y^6$$;
г) $$A^3\cdot B^2=-27a^3b^4c^2$$;
б) $$A^4\cdot B=405a^6b^7$$;
д) $$A^3\cdot B^4=8d^4m^{13}n^3$$;
в) $$A^3\cdot B^2=4x^3y^2z^5$$;
е) $$A^2\cdot B^5=81b^{13}c^5d^4$$.
Рассмотрим функцию $$y=-x^2$$ на отрезке $$[a;b]$$.
Если $$x>0$$, то функция убывает; если $$x<0$$, то возрастает. Поэтому на указанном отрезке наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка.
а) $$m=-9,\ M=-1,\ 0<a<b.$$
Тогда $$m=f(b),\ M=f(a)$$:
$$-b^2=-9 \Rightarrow b^2=9 \Rightarrow b=3,$$
$$-a^2=-1 \Rightarrow a^2=1 \Rightarrow a=1.$$$$a=1,\ b=3.$$
б) $$m=-16,\ M=-9,\ a<b<0.$$
При $$x<0$$ функция возрастает, значит $$m=f(a),\ M=f(b)$$:
$$-a^2=-16 \Rightarrow a^2=16 \Rightarrow a=-4,$$
$$-b^2=-9 \Rightarrow b^2=9 \Rightarrow b=-3.$$$$a=-4,\ b=-3.$$
в) $$m=-81,\ M=-2{,}25,\ 0<a<b.$$
Тогда $$m=f(b),\ M=f(a)$$:
$$-b^2=-81 \Rightarrow b^2=81 \Rightarrow b=9,$$
$$-a^2=-2{,}25 \Rightarrow a^2=2{,}25 \Rightarrow a=1{,}5.$$$$a=1{,}5,\ b=9.$$
г) $$m=-121,\ M=0,\ a<b\le 0.$$
При $$x<0$$ функция возрастает, значит $$m=f(a),\ M=f(b)$$:
$$-a^2=-121 \Rightarrow a^2=121 \Rightarrow a=-11,$$
$$-b^2=0 \Rightarrow b^2=0 \Rightarrow b=0.$$$$a=-11,\ b=0.$$
д) $$m=-4^6,\ M=-3^6,\ 0<a<b.$$
Тогда $$m=f(b),\ M=f(a)$$:
$$-b^2=-4^6 \Rightarrow b^2=4^6=(4^3)^2 \Rightarrow b=4^3=64,$$
$$-a^2=-3^6 \Rightarrow a^2=3^6=(3^3)^2 \Rightarrow a=3^3=27.$$$$a=27,\ b=64.$$
е) $$m=-10^{10},\ M=-8^8,\ a<b<0.$$
При $$x<0$$ функция возрастает, значит $$m=f(a),\ M=f(b)$$:
$$-a^2=-10^{10} \Rightarrow a^2=10^{10}=(10^5)^2 \Rightarrow a=-10^5,$$
$$-b^2=-8^8 \Rightarrow b^2=8^8=(8^4)^2 \Rightarrow b=-8^4.$$$$a=-10^5,\ b=-8^4.$$
Подберём одночлены $$A$$ и $$B$$.
а) $$A\cdot B^5=160x^{11}y^6.$$
$$B^5=(2xy)^5=32x^5y^5 \Rightarrow B=2xy,$$
$$A=\frac{160x^{11}y^6}{32x^5y^5}=5x^6y.$$$$A=5x^6y,\quad B=2xy.$$
б) $$A^4\cdot B=405a^6b^7.$$
$$A^4=(3ab)^4=81a^4b^4 \Rightarrow A=3ab,$$
$$B=\frac{405a^6b^7}{81a^4b^4}=5a^2b^3.$$$$A=3ab,\quad B=5a^2b^3.$$
в) $$A^3\cdot B^2=4x^3y^2z^5.$$
$$A^3=(xz)^3=x^3z^3 \Rightarrow A=xz,$$
$$B^2=(2yz)^2=4y^2z^2 \Rightarrow B=2yz.$$$$A=xz,\quad B=2yz.$$
г) $$A^3\cdot B^2=-27a^3b^4c^2.$$
$$A^3=(-3a)^3=-27a^3 \Rightarrow A=-3a,$$
$$B^2=(b^2c)^2=b^4c^2 \Rightarrow B=b^2c.$$$$A=-3a,\quad B=b^2c.$$
д) $$A^3\cdot B^4=8d^4m^{13}n^3.$$
$$A^3=(2m^3n)^3=8m^9n^3 \Rightarrow A=2m^3n,$$
$$B^4=(dm)^4=d^4m^4 \Rightarrow B=dm.$$$$A=2m^3n,\quad B=dm.$$
е) $$A^2\cdot B^5=81b^{13}c^5d^4.$$
$$A^2=(9b^6d^2)^2=81b^{12}d^4 \Rightarrow A=9b^6d^2,$$
$$B^5=(bc)^5=b^5c^5 \Rightarrow B=bc.$$$$A=9b^6d^2,\quad B=bc.$$
Ответ
1) а) $$a=1,\ b=3$$; б) $$a=-4,\ b=-3$$; в) $$a=1{,}5,\ b=9$$; г) $$a=-11,\ b=0$$; д) $$a=27,\ b=64$$; е) $$a=-10^5,\ b=-8^4$$.
2) а) $$A=5x^6y,\ B=2xy$$; б) $$A=3ab,\ B=5a^2b^3$$; в) $$A=xz,\ B=2yz$$; г) $$A=-3a,\ B=b^2c$$; д) $$A=2m^3n,\ B=dm$$; е) $$A=9b^6d^2,\ B=bc$$.
