Дополнительная задача 4 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Составляют ряды из 25 данных, каждое из которых — либо число $$2$$, либо число $$5$$. При этом ряд не должен состоять из одинаковых данных. Затем эти ряды упорядочивают по возрастанию.
1) Сколько всего может получиться упорядоченных рядов?
2) В скольких из них:
а) число $$2$$ встретится менее 10 раз;
б) число $$5$$ встретится не менее 15 раз;
в) число $$2$$ встретится чаще числа $$5$$;
г) частота числа $$2$$ превысит $$70\%$$;
д) частота числа $$5$$ не превысит $$15\%$$? - Дана функция $$y=h(x)$$, где $$h(x)=-x^2$$. Найдите $$a$$ и $$b$$, если известны наименьшее значение $$m$$ и наибольшее значение $$M$$ этой функции на отрезке $$[a;b]$$:
а) $$m=-9$$; $$M=-1$$ и $$0
- Из 25 данных каждое равно либо 2, либо 5. Упорядоченный ряд однозначно задаётся числом двоек: оно может быть от 1 до 24, так как ряд не должен состоять из одинаковых данных.
Значит, всего возможно $$24$$ упорядоченных ряда. Пусть число 2 встречается $$x$$ раз. Тогда число 5 встречается $$25-x$$ раз.
а) $$x<10$$, то есть $$x=1,2,\dots,9$$. Таких рядов $$9$$.
б) $$25-x\ge 15$$, значит $$x\le 10$$. Тогда $$x=1,2,\dots,10$$. Таких рядов $$10$$.
в) число 2 встречается чаще числа 5:
$$x>25-x$$
$$2x>25$$
$$x>12{,}5$$
Значит, $$x=13,14,\dots,24$$. Таких рядов $$12$$.
г) частота числа 2 превышает $$70\%$$:
$$\frac{x}{25}\cdot 100\%>70\%$$
$$x>17{,}5$$
Значит, $$x=18,19,\dots,24$$. Таких рядов $$7$$.
д) частота числа 5 не превышает $$15\%$$:
$$\frac{25-x}{25}\cdot 100\%\le 15\%$$
$$25-x\le 3{,}75$$
$$25-x\le 3$$
$$x\ge 22$$
Значит, $$x=22,23,24$$. Таких рядов $$3$$.
Функция $$y=-x^2$$ на положительных промежутках убывает, а на отрицательных — возрастает. Поэтому:
- при $$0<a<b$$ наименьшее значение достигается в точке $$b$$, наибольшее — в точке $$a$$;
- при $$a<b<0$$ наименьшее значение достигается в точке $$a$$, наибольшее — в точке $$b$$;
- при $$a<b\le 0$$ наименьшее значение достигается в точке $$a$$, наибольшее — в точке $$b$$.
а) $$m=-9,\ M=-1,\ 0<a<b$$
$$-b^2=-9 \Rightarrow b=3$$
$$-a^2=-1 \Rightarrow a=1$$
$$a=1,\ b=3$$
б) $$m=-16,\ M=-9,\ a<b<0$$
$$-a^2=-16 \Rightarrow a=-4$$
$$-b^2=-9 \Rightarrow b=-3$$
$$a=-4,\ b=-3$$
в) $$m=-81,\ M=-2{,}25,\ 0<a<b$$
$$-b^2=-81 \Rightarrow b=9$$
$$-a^2=-2{,}25 \Rightarrow a=1{,}5$$
$$a=1{,}5,\ b=9$$
г) $$m=-121,\ M=0,\ a<b\le 0$$
$$-a^2=-121 \Rightarrow a=-11$$
$$-b^2=0 \Rightarrow b=0$$
$$a=-11,\ b=0$$
д) $$m=-4^6,\ M=-3^6,\ 0<a<b$$
$$-b^2=-4^6 \Rightarrow b=4^3=64$$
$$-a^2=-3^6 \Rightarrow a=3^3=27$$
$$a=27,\ b=64$$
е) $$m=-10^{10},\ M=-8^8,\ a<b<0$$
$$-a^2=-10^{10} \Rightarrow a=-10^5$$
$$-b^2=-8^8 \Rightarrow b=-8^4$$
$$a=-10^5,\ b=-8^4$$
Ответ
1) $$24$$.
2) а) $$9$$; б) $$10$$; в) $$12$$; г) $$7$$; д) $$3$$.
3) а) $$a=1,\ b=3$$; б) $$a=-4,\ b=-3$$; в) $$a=1{,}5,\ b=9$$; г) $$a=-11,\ b=0$$; д) $$a=27,\ b=64$$; е) $$a=-10^5,\ b=-8^4$$.
