Упр.39.16 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) 49 — (2x — 3)^2 = 0; б) 64x^2 — (х + 63)^2 = 0.

Обозначим

$$S=1^3+2^3+3^3+\dots+9^3.$$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$S=(1^3+9^3)+(2^3+8^3)+(3^3+7^3)+(4^3+6^3)+5^3.$$

Для каждой пары используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$S=(1+9)(1^2-1\cdot 9+9^2)+(2+8)(2^2-2\cdot 8+8^2)+(3+7)(3^2-3\cdot 7+7^2)+(4+6)(4^2-4\cdot 6+6^2)+5^3.$$

Во всех скобках первый множитель равен $$10$$, значит каждая из первых четырёх сумм делится на $$10$$. Кроме того,

$$5^3=125,$$

а число $$125$$ при делении на $$10$$ даёт остаток $$5$$. Следовательно,

$$S \equiv 5 \pmod{10},$$

то есть сумма кубов чисел от $$1$$ до $$9$$ не делится на $$10$$.

а) Решим уравнение

$$49-(2x-3)^2=0.$$

$$49=(2x-3)^2$$

$$7^2=(2x-3)^2$$

$$7=2x-3 \quad \text{или} \quad -7=2x-3.$$

Тогда

$$2x=10 \quad \text{или} \quad 2x=-4,$$

$$x=5 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

б) Решим уравнение

$$64x^2-(x+63)^2=0.$$

$$ (8x)^2-(x+63)^2=0.$$

Разность квадратов:

$$\bigl(8x-(x+63)\bigr)\bigl(8x+(x+63)\bigr)=0.$$

$$ (7x-63)(9x+63)=0.$$

Отсюда

$$7x-63=0 \quad \text{или} \quad 9x+63=0,$$

$$x=9 \quad \text{или} \quad x=-7.$$

Ответ

Сумма кубов чисел от $$1$$ до $$9$$ не делится на $$10$$; а) $$x=-2,\,5$$; б) $$x=-7,\,9$$.