Упр.39.15 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма кубов чисел от $$1$$ до $$99$$ делится на $$100$$.
2. Разложите многочлен на множители:
   а) $$x^3-25x$$;
   в) $$25x^3+20x^2y+4xy^2$$;
   б) $$36a^5-a^3$$;
   г) $$49a^3b-42a^2b^2+9ab^3$$.

Докажем делимость суммы кубов чисел от 1 до 99 на 100:

$$S=1^3+2^3+3^3+\dots+99^3$$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$S=(1^3+99^3)+(2^3+98^3)+\dots+(49^3+51^3)+50^3$$

Для каждой пары используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Тогда

$$1^3+99^3=(1+99)(1^2-1\cdot 99+99^2)=100(\dots)$$

$$2^3+98^3=(2+98)(2^2-2\cdot 98+98^2)=100(\dots)$$

и так далее. Каждое такое слагаемое делится на 100, а число $$50^3$$ тоже делится на 100, так как

$$50^3=100\cdot 1250.$$

Значит, вся сумма $$S$$ делится на 100.

Разложим многочлены на множители:

1. $$x^3-25x=x(x^2-25)=x(x-5)(x+5)$$

2. $$36a^5-a^3=a^3(36a^2-1)=a^3(6a-1)(6a+1)$$

3. $$25x^3+20x^2y+4xy^2=x(25x^2+20xy+4y^2)=x(5x+2y)^2$$

4. $$49a^3b-42a^2b^2+9ab^3=ab(49a^2-42ab+9b^2)=ab(7a-3b)^2$$

Ответ

Сумма $$1^3+2^3+\dots+99^3$$ делится на 100.

$$x^3-25x=x(x-5)(x+5)$$

$$36a^5-a^3=a^3(6a-1)(6a+1)$$

$$25x^3+20x^2y+4xy^2=x(5x+2y)^2$$

$$49a^3b-42a^2b^2+9ab^3=ab(7a-3b)^2$$