Упр.39.15 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
а) x^3 — 25x; в) 25x^3 + 20х^2 у + 4ху^2;
б) 36а^5 — а^3; г) 49а^3 b — 42a^2 b^2 + 9аb^3.
Докажем делимость суммы кубов чисел от 1 до 99 на 100:
$$ S=1^3+2^3+3^3+\dots+99^3 $$
Сгруппируем слагаемые попарно:
$$ S=(1^3+99^3)+(2^3+98^3)+\dots+(49^3+51^3)+50^3 $$
Для каждой пары используем формулу суммы кубов:
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$
Тогда
$$ 1^3+99^3=(1+99)(1^2-1\cdot 99+99^2)=100(\dots) $$
$$ 2^3+98^3=(2+98)(2^2-2\cdot 98+98^2)=100(\dots) $$
и так далее. Каждое такое слагаемое делится на 100, а число $50^3$ тоже делится на 100, так как
$$ 50^3=100\cdot 1250. $$
Значит, вся сумма $S$ делится на 100.
Разложим многочлены на множители:
$$ x^3-25x=x(x^2-25)=x(x-5)(x+5) $$
$$ 36a^5-a^3=a^3(36a^2-1)=a^3(6a-1)(6a+1) $$
$$ 25x^3+20x^2y+4xy^2=x(25x^2+20xy+4y^2)=x(5x+2y)^2 $$
$$ 49a^3b-42a^2b^2+9ab^3=ab(49a^2-42ab+9b^2)=ab(7a-3b)^2 $$
Ответ
Сумма $1^3+2^3+\dots+99^3$ делится на 100.
$$ x^3-25x=x(x-5)(x+5) $$
$$ 36a^5-a^3=a^3(6a-1)(6a+1) $$
$$ 25x^3+20x^2y+4xy^2=x(5x+2y)^2 $$
$$ 49a^3b-42a^2b^2+9ab^3=ab(7a-3b)^2 $$
