Упр.39.14 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 7 класс, Бином: Докажите, что число (n^4 — n^2)/6 является целым. Найдите календарь на текущий год. Составьте таблицу распределения за 12 месяцев всех дат, на которые приходятся понедельники. (Варианты: вторники, …, воскресенья.)

Преобразуем выражение:

$$\frac{n^4-n^2}{6}=\frac{n^2(n^2-1)}{6}=\frac{n^2(n-1)(n+1)}{6}.$$

Среди трёх последовательных чисел $$n-1,\; n,\; n+1$$ одно делится на $$3$$, а хотя бы одно из чисел $$n-1$$ и $$n+1$$ чётное. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.

Тогда и число $$n^2(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$, следовательно, $$\frac{n^4-n^2}{6}$$ — целое число.

Для календаря на текущий год выписывают все даты, на которые приходятся понедельники, и затем составляют таблицу распределения по числам месяца. Для каждого числа от $$1$$ до $$31$$ подсчитывают, сколько раз оно встречается среди понедельников в течение года.

Например, для 2023 года понедельники приходились на даты:

$$2,\; 9,\; 16,\; 23,\; 30,\; 6,\; 13,\; 20,\; 27,\; 6,\; 13,\; 20,\; 27,\; 3,\; 10,\; 17,\; 24,\; 1,\; 8,\; 15,\; 22,\; 29,\; 5,\; 12,\; 19,\; 26,\; 3,\; 10,\; 17,\; 24,\; 31,\; 7,\; 14,\; 21,\; 28,\; 4,\; 11,\; 18,\; 25,\; 2,\; 9,\; 16,\; 23,\; 30,\; 6,\; 13,\; 20,\; 27,\; 4,\; 11,\; 18,\; 25.$$

Тогда таблица распределения имеет вид:

Ответ

$$\frac{n^4-n^2}{6}$$ — целое число; таблица распределения понедельников составляется по датам текущего года.