Упр.38.8 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Разложите многочлен на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки:
а) $$a(a-b)-2b(b-a)$$;
б) $$3x(x-y)+(y-x)$$;
в) $$y(x-y)^2-3x(y-x)$$;
г) $$b(b-1)+2(1-b)$$;
д) $$2a(4-a)-a^2(a-4)$$;
е) $$n(m-n)^2-3m(n-m)$$. - Установите, является ли данное равенство тождеством, и если да, то укажите допустимые значения переменных:
а) $$\frac{a^4-4a^2}{a^2-2a}=a^2+2a$$;
б) $$\frac{a^3+b^3}{a+b}-ab=(a-b)^2$$;
в) $$\frac{x^2+7x+12}{x+3}+x(x+3)=(x+2)^2$$;
г) $$\frac{3b^5-24b^2}{6b^5-12b^4}=\frac{b^2+2b+4}{2b^2}$$;
д) $$\frac{n^3-8}{n-2}+2n=(n+2)^2$$;
е) $$\frac{n^2+11n+18}{n+2}+n(n+5)=(n+3)^2$$.
Разложим многочлены на множители, вынеся общий множитель:
$$a(a-b)-2b(b-a)=a(a-b)+2b(a-b)=(a-b)(a+2b)$$
$$3x(x-y)+(y-x)=3x(x-y)-(x-y)=(x-y)(3x-1)$$
$$y(x-y)^2-3x(y-x)=y(x-y)^2+3x(x-y)=(x-y)\bigl(y(x-y)+3x\bigr)$$
$$= (x-y)(xy-y^2+3x)$$
$$b(b-1)+2(1-b)=b(b-1)-2(b-1)=(b-1)(b-2)$$
$$2a(4-a)-a^2(a-4)=2a(4-a)+a^2(4-a)=(4-a)(2a+a^2)=a(4-a)(2+a)$$
$$n(m-n)^2-3m(n-m)=n(m-n)^2+3m(m-n)=(m-n)\bigl(n(m-n)+3m\bigr)$$
$$=(m-n)(nm-n^2+3m)$$
Проверим, являются ли равенства тождествами, и укажем допустимые значения переменных.
а)
$$\frac{a^4-4a^2}{a^2-2a}=\frac{a^2(a^2-4)}{a(a-2)}=\frac{a^2(a-2)(a+2)}{a(a-2)}=a(a+2)=a^2+2a$$
Это тождество при $$a\ne 0$$ и $$a\ne 2$$.
б)
$$\frac{a^3+b^3}{a+b}-ab=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b}-ab=a^2-ab+b^2-ab=(a-b)^2$$
Это тождество при $$a+b\ne 0$$, то есть $$a\ne -b$$.
в)
$$\frac{x^2+7x+12}{x+3}+x(x+3)=\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}+x(x+3)=x+4+x^2+3x=(x+2)^2$$
Это тождество при $$x\ne -3$$.
г)
$$\frac{3b^5-24b^2}{6b^5-12b^4}=\frac{3b^2(b^3-8)}{6b^4(b-2)}=\frac{3b^2(b-2)(b^2+2b+4)}{6b^4(b-2)}=\frac{b^2+2b+4}{2b^2}$$
Это тождество при $$b\ne 0$$ и $$b\ne 2$$.
д)
$$\frac{n^3-8}{n-2}+2n=\frac{(n-2)(n^2+2n+4)}{n-2}+2n=n^2+2n+4+2n=(n+2)^2$$
Это тождество при $$n\ne 2$$.
е)
$$\frac{n^2+11n+18}{n+2}+n(n+5)=\frac{(n+2)(n+9)}{n+2}+n(n+5)=n+9+n^2+5n=(n+3)^2$$
Это тождество при $$n\ne -2$$.
Ответ
1) $$a) \ (a-b)(a+2b), \quad б) \ (x-y)(3x-1), \quad в) \ (x-y)(xy-y^2+3x),$$
$$г) \ (b-1)(b-2), \quad д) \ a(4-a)(2+a), \quad е) \ (m-n)(nm-n^2+3m).$$
2) а) да, при $$a\ne 0, \ a\ne 2$$; б) да, при $$a\ne -b$$; в) да, при $$x\ne -3$$; г) да, при $$b\ne 0, \ b\ne 2$$; д) да, при $$n\ne 2$$; е) да, при $$n\ne -2$$.
