Упр.38.8 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) a(a — b) — 2b(b — a); г) b(b — 1) + 2(1 — b);
б) 3x(x — y) + (y — x); д) 2a(4 — a) — a^2 (a — 4);
в) y(x — y)^2 — 3x(y — x); е) n(m — n)^2 — 3m(n — m). Установите, является ли данное равенство тождеством, и если да, то укажите допустимые значения переменных.
а) (a^4 — 4a^2)/(a^2 — 2a) = a^2 + 2a;
б) (a^3 + b^3)/(a + b) — ab = (a — b)^2;
в) (x^2 + 7x + 12)/(x + 3) + x(x + 3) = (x + 2)^2;
г) (3b^5 — 24b^2)/(6b^5 — 12b^4) = (b^2 + 2b + 4)/2b^2;
д) (n^3 — 8)/(n — 2) + 2n = (n + 2)^2;
е) (n^2 + 11n + 18)/(n + 2) + n(n + 5) = (n + 3)^2.

1. Разложим многочлены на множители, вынеся общий множитель:

   $$a(a-b)-2b(b-a)=a(a-b)+2b(a-b)=(a-b)(a+2b)$$

   $$3x(x-y)+(y-x)=3x(x-y)-(x-y)=(x-y)(3x-1)$$

   $$y(x-y)^2-3x(y-x)=y(x-y)^2+3x(x-y)=(x-y)\bigl(y(x-y)+3x\bigr)$$

   $$= (x-y)(xy-y^2+3x)$$

   $$b(b-1)+2(1-b)=b(b-1)-2(b-1)=(b-1)(b-2)$$

   $$2a(4-a)-a^2(a-4)=2a(4-a)+a^2(4-a)=(4-a)(2a+a^2)=a(4-a)(2+a)$$

   $$n(m-n)^2-3m(n-m)=n(m-n)^2+3m(m-n)=(m-n)\bigl(n(m-n)+3m\bigr)$$

   $$=(m-n)(nm-n^2+3m)$$

2. Проверим, являются ли равенства тождествами, и укажем допустимые значения переменных.

   а)

   $$\frac{a^4-4a^2}{a^2-2a}=\frac{a^2(a^2-4)}{a(a-2)}=\frac{a^2(a-2)(a+2)}{a(a-2)}=a(a+2)=a^2+2a$$

   Это тождество при $$a\ne 0$$ и $$a\ne 2$$.

   б)

   $$\frac{a^3+b^3}{a+b}-ab=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b}-ab=a^2-ab+b^2-ab=(a-b)^2$$

   Это тождество при $$a+b\ne 0$$, то есть $$a\ne -b$$.

   в)

   $$\frac{x^2+7x+12}{x+3}+x(x+3)=\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}+x(x+3)=x+4+x^2+3x=(x+2)^2$$

   Это тождество при $$x\ne -3$$.

   г)

   $$\frac{3b^5-24b^2}{6b^5-12b^4}=\frac{3b^2(b^3-8)}{6b^4(b-2)}=\frac{3b^2(b-2)(b^2+2b+4)}{6b^4(b-2)}=\frac{b^2+2b+4}{2b^2}$$

   Это тождество при $$b\ne 0$$ и $$b\ne 2$$.

   д)

   $$\frac{n^3-8}{n-2}+2n=\frac{(n-2)(n^2+2n+4)}{n-2}+2n=n^2+2n+4+2n=(n+2)^2$$

   Это тождество при $$n\ne 2$$.

   е)

   $$\frac{n^2+11n+18}{n+2}+n(n+5)=\frac{(n+2)(n+9)}{n+2}+n(n+5)=n+9+n^2+5n=(n+3)^2$$

   Это тождество при $$n\ne -2$$.

Ответ

1) $$a) \ (a-b)(a+2b), \quad б) \ (x-y)(3x-1), \quad в) \ (x-y)(xy-y^2+3x),$$
$$г) \ (b-1)(b-2), \quad д) \ a(4-a)(2+a), \quad е) \ (m-n)(nm-n^2+3m).$$

2) а) да, при $$a\ne 0, \ a\ne 2$$; б) да, при $$a\ne -b$$; в) да, при $$x\ne -3$$; г) да, при $$b\ne 0, \ b\ne 2$$; д) да, при $$n\ne 2$$; е) да, при $$n\ne -2$$.